加減消去法的原理

A、

(圖解)    

如圖一：(以■代替大紙數字、●代替小紙數字)

       ■●=28.........(1)

    ■■●=65.........(2)

將(2)中的左式拿掉一組■●、右式拿掉28(這是由1式中得到的訊息)，就轉變成：

   ■■●-■●=65-28

→■=37，再代入(1)中：

→●=-9 

(算式)

以X呈現大紙數字、Y代替小紙數字：

  X+Y=28........(1)

2X+Y=65........(2)

(2)-(1)：

    (2X+Y)-(X+Y)=65-28

→X=37

→37+Y=37

    Y=-9

 (圖一)

B、

(圖解)    

如圖二：(以■代替大紙數字、●代替小紙數字)

          ■●   =7.........(1)

    ■■■●●=18.........(2)

將(2)中的左式拿掉兩組■●(因為有兩組的■●)、右式拿掉兩組7(這是由1式中得到的訊息)，

就轉變成：

   ■■●-■●-■●=18-7-7

→■=4，再代入(1)中：

→●=3 

(算式)

以X呈現大紙數字、Y代替小紙數字：

  X+Y=7........(1)

3X+2Y=18........(2)

(2)-(1)：

    (3X+2Y)-(X+Y)-(X+Y)=18-7-7

→(3X+2Y)-2(X+Y)=18-2×7

→X=4

→4+Y=7

    Y=3

其中，拿掉兩組是因為一次拿掉一組是去除1個Y，所以兩個Y就必須拿掉兩次。

整理算式流程：

      X+  Y=7   ←×2 (觀看欲消去Y的係數數字決定)

    3X+2Y=18 

→   3X+2Y=18      

    -)2X+2Y=14

→(3X+2Y)-(2X+2Y)=18-14

     X=4

     4+Y=7，Y=3

 (圖二)

代入消去法~~

代入消去法其實就是等價交換的概念，小學曾經教過以下之題目：
如果將一張1000元及2張100元，分給4個人，則我們都知道一個人要分300元，但是在實際生活上，應該是先將1000元換成10張100元，最後總共12張100元分給4個人，每人剛好分3張。
另外，買東西時，其實也是等價交換的概念應用，買一隻20元的鉛筆，也是拿20元的貨幣換了鉛筆。
代入消去法就是利用等價交換的概念，將二元一次方程式轉換成一元一次方程式，在下面的圖片中就是代入消去法的使用流程。

秤人之危之解法流程及轉換數學關係式流程(6-9題)

6、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●●●.........(1)                     

                ■●●●=24.......(2)

                 將第2式中的●●●替換成■■

                 則：■■■=24

                 所以：■=8、●=16/3

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=3Y..........(1)

                   X+3Y=24.....(2)

                   將第2式中的3Y替換成2X

               →X+2X=24

               →X=8、Y=16/3

 7、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●●●+2.........(1)                     

                ■■●=18..............(2)

                 將第2式中的■■替換成●●●+2

                 則：●●●+2+●=18

                 所以：●=4、■=7

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=3Y+2.........(1)

                  2X+Y=18..........(2)

                  將第2式中的2X替換成3Y+2

               →3Y+2+Y=18

               →Y=4、X=7

 8、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●●+6.........(1)                     

                ■●=21..............(2)

               將第1式中等號的兩邊各減半：

               →■=●+3...........(3) 

            將第2式中的■替換成●+3

                 則：●+3+●=21

                 所以：●=9、■=12

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=2Y+6.........(1)

                  X+Y=21..........(2)

                  將第1式中等號的兩邊各÷2：

                  X=Y+3

                  將第2式中的X替換成Y+3

                  →Y+3+Y=21

                  →Y=9、X=12

9、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■■=●+6.........(1)                     

                ■●+6=36.........(2)

                 將第2式中的●+6替換成■■■

                 則：■■■■=36

                 所以：■=9、●=21

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →3X=Y+6.........(1)

                  X+Y+6=36.. ..(2)

                  將第2式中的Y+6替換成3X

               →X+3X=36

               →X=9、Y=21

秤人之危之解法流程及轉換數學關係式流程(1-5題)

1、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■=●●.........(1)                     

                ■+●=12.....(2)

                 將第2式中的■替換成●●

                 則：●●●=12

                 所以：●=4、■=8

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →X=2Y.........(1)

                   X+Y=12.....(2)

                   將第2式中的X替換成2Y

               →2Y+Y=12

               →Y=4、X=8

2、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■=●+2.........(1)                     

                ■+●=8.........(2)

                 將第2式中的■替換成●+2

                 則：●+2+●=8

                 所以：●=3、■=5

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →X=Y+2.........(1)

                   X+Y=8.........(2)

                   將第2式中的X替換成Y+2

               →Y+2+Y=8

               →Y=3、X=5

3、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■+7=●.........(1)                     

                ■+●=15.......(2)

                 將第2式中的●替換成■+7

                 則：■+■+7=15

                 所以：■=4、●=11

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →X+7=Y.........(1)

                   X+Y=15.........(2)

                   將第2式中的Y替換成X+7

               →X+X+7=15

               →X=4、Y=11

4、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●...........(1)                     

                ■■●=12.......(2)

                 將第2式中的●替換成■■

                 則：■■■■=12

                 所以：■=3、●=6

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=Y.........(1)

                   2X+Y=12.........(2)

                   將第2式中的Y替換成2X

               →2X+2X=12

               →X=3、Y=6

5、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●+6...........(1)                     

                ■■●=20.......(2)

                 將第2式中的■■替換成●+6

                 則：●+6+●=20

                 所以：●=7、■=6.5

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=Y+6.........(1)

                   2X+Y=20.........(2)

                   將第2式中的2X替換成Y+6

               →Y+6+Y=20

               →Y=7、X=6.5

秤人之危(代入消去法)

活動名稱：秤人之危

適用單元：代入消去法

活動器材：學習單
關鍵字：代入、二元一次方程式
與教學內容關聯性：★★★★★ 
趣味性：★★★ ★
操作難度：★★ 
遊戲可套用性：★★
推薦度：★★★★ 

構想來源：慶鴻老師之設計(數學一點也不無聊)

使用時間：寫學習單大約20-25分鐘，上台講解
                    及轉換用方程組大約2節課。

教學流程：

發下學習單，利用20-25分鐘完成，再抽籤找組別上來解說每一題之解法。

教學心得：

學生一開始時，部分學生因為在補習班都學過代入消去法，所以學生都在努力解X跟Y的答案，但是上台解說時，卻沒有使用任何之未知數符號，而是直接用題目的符號(框框、圓圈)來找出答案，另外在整個上台講解過程中，它們已經不自覺的使用了代入置換的概念，將本來兩個物品的重量都轉成只剩下一個物品，然後就找出最後之重量。

這份學習單對於後半段不會有太大壓力，最大的壓力應該是上台講解的過程，因為沒有這習慣，所以會有害羞的狀態發生，這是我努力要去讓學生敢於表現自己，讓學生不再扭扭捏捏。

方程式如何找解及其意義

以往的我在講二元一次方程式的解的時候，都是直接直述法的講述，可是往往後半段的學生都無法明白我的內容。於是在今年時，在講解這部分時，先加入撲克牌操作的方式：

   A、■+■=7 
 (其中■、■各為兩張不知道點數的撲克牌)
此時請學生找出■、■的點數各自為何？
              ■ + ■ = 7
              6     1
              5     2
              4     3
              3     4
              2     5
              1     6
此時，再將■+■=7中的■、■各自以X、Y的符號呈現(X為■的點數、Y為■的點數)
則上述的式子就會變成X+Y=7
此時學生所找出來的點數皆滿足上述例子，如果用圖表來顯示，就會變成：
Y：1  2  3  4  5  6
X：6  5  4  3  2  1
其中X+Y=7 可視為限制條件(限制X與Y的關係，即為方程式)
滿足的X、Y點數為符合限制條件的對象(即為解)
此時詢問學生：
那X=7、Y=8可否滿足？
答案是NO，因為不符合限制條件

B、■■+■=10  
(其中■、■各為兩張不知道點數的撲克牌)
此時請學生找出■、■的點數各自為何？
              ■■+■=13
              1 1  11
              2 2  9
              3 3  7
              4 4  5
              5 5  3
              6 6  1
此時，再將■■+■=13中的■、■各自以X、Y的符號呈現(X為■的點數、Y為■的點數)
則上述的式子就會變成2X+Y=13
此時學生所找出來的點數皆滿足上述例子，如果用圖表來顯示，就會變成：
Y：11  9  7  5  3  1
X：1   2  3  4   5  6
其中X+Y=10 可視為限制條件(限制X與Y的關係)
滿足的X、Y點數為符合限制條件的對象(即為解)

到此發現學生比較能接受二元一次方程式解的概念!!