一元二次方程式的解法原理~~~

       當拿一條固定長度的繩子(不妨假設繩長為20公分)來圍出一個長方形時，此時來探討看看長方形面積是否改變時，學生的直覺反應都是說不改變，於是讓學生親自動筆寫出5組長寬數據，並計算其面積為何?


長        0    1    2    3    4    5    6...    
寬      10    9    8    7    6    5    4...
面積    0    9   16  21  24  25  24
於是乎，剛剛的答案已經出現了：面積是會改變的。
如果將長設為X  則寬=(10-X)
則面積=X(10-X)
此時請學生猜測：如果面積是20，此時的長會是多少?
從上表發現：長似乎會落在2與3之間：
長=2.5→寬=7.5，則面積=2.5*7.5=18.75＜20
長=2.8→寬=7.2，則面積=2.8*7.2=20.16＞20
長=2.7→寬=7.3，則面積=2.7*7.3=19.71＜20
以此類推(感覺有十分逼近法的味道)......
將整個式子列出：X(10-X)=20
整理之：X^2-10X+20=0 →一元二次方程式
上述之式子要如何解出呢?
(A)結合前面所學的因式分解：
可否將X^2-10X+20因式分解成兩個式子相乘!!
其利用原理：
如果長方形面積為0時，可得知：
長=0或寬=0
∴( 式子A )×( 式子B )=0 → 式子A=0 或式子B=0
舉例來說：
X^2+6X+8=0
(X+2)(X+4)=0
X+2=0或X+4=0
X=-2或X=-4
(B)那如果無法因式分解，怎麼辦呢?
結合前面所學的平方根概念：
□×□=固定數字，則□=√(固定數字)或-√(固定數字)
註：
為何要兩個相同框框相乘呢?難道不能是兩個不同的數字相乘嗎?
舉例來說：
       □  ×  ■=6
       1       6
       2       3
      0.5    12
      √6    √6
    -√6    -√6
     2/3     9
所以我們可以寫出很多組答案!!!
但是如果是相同的兩個框框，則只能寫出兩個答案!!
舉例來說：
□×□=6，則□=√6或-√6
那繼續來觀察方程式：X^2-10X+20=0
如何將上述方程式轉換成□×□=固定數字呢?
觀察一下：
□×□勢必包括了X^2-10X這部分(這很重要)
所以：
               □       +▲
          ×) □       +▲
             ▲□    ▲^2
      □^2 ▲□            
      X^2-10X
此時會發現：□=X，於是：
               X       +▲
          ×) X       +▲
              ▲X    ▲^2
      X^2 ▲X            
      X^2-10X
此時會發現：2▲X=-10X →▲=-5
               X       -5
          ×) X       -5
              -5X    (-5)^2
      X^2 -5X            
      X^2-10X   +25 (-5)
∴X^2-10X+20=0
X^2-10X+25-5=0  (其中-5是因為20=25-5)
(X-5)(X-5)=5
X-5=√5或X-5=-√5
X=5+√5或5-√5