聯立方程組解的判斷--修正版

考慮聯立方程組解的模式，可分為下列幾種：
A、 X+  Y=  3  ←×2
      2X+3Y=12
→    2X+2Y=6
－)  2X+3Y=12
               -Y=-6

此時會發現未知數X抵消為0了，但未知數Y未抵消為0，常數亦未抵消為0，所以方程組有一組解

B、 X+  Y=3  ←×2
      2X+3Y=6
→    2X+2Y=6
－)  2X+3Y=6
               -Y=0

此時會發現未知數X抵消了，但未知數Y未抵消，常數抵消為0，但方程組仍是為一組解

C、 X+  Y=3  ←×2
      2X+2Y=6
→    2X+2Y=6
－)  2X+2Y=6
                 0=0

此時會發現未知數X抵消為0了，未知數Y也抵消為0了，常數亦抵消為0，直接觀察之，發現上下兩條方程式是同一條，所以會出現無限多組解之狀況。

D、 X+  Y=3  ←×2
      2X+2Y=12
→    2X+2Y=6
－)  2X+2Y=12
                 0=-6

此時會發現未知數X抵消為0了，未知數Y也抵消為0了，但常數未抵消為0，這為不合理之狀況，
所以為無解

將上述之狀況整理如下：
(I)將一未知數(一般為X)利用加減消去法消去變
    為0 時，此時另一個未知數(一般為Y)如果沒
    消失(變為0)，則不管常數是否消失為0，則此
    種狀況之方程組必有一組解。
(II)將一未知數(一般為X)利用加減消去法消去 
      變為0時，此時另一個未知數(一般為Y)亦消
      失變為0時，此時就要考慮常數之狀況：
   (甲)常數如果也消失變為0，則方程組為無限
         多組解。
   (乙)常數如果沒有消失變為0，則方程組為無
          解。
修正的用意：不想讓學生一直在背係數的比
                         值關係，讓學生能有更直觀的
                        感覺，而不是在背公式。
                        

聯立方程組解的判斷~~~

手機的定位系統：
根據手機(B)發出訊號到基地台(A)，告訴基地台(A)說：持手機(B)的位置落在訊號傳送的直線AB上，但是會發現無法確定手機(B)的正確位置，所以必須由手機(B)再發出訊號給基地台(C)，此時手機(B)的位置落在訊號傳送的直線BC上，根據直線直線AB與直線BC的交點就可以確定手機(B)的位置。(如下圖所示)。但是如果手機(B)的位置如果剛好落在基地台A跟C的連線上，此時仍然是無法定位的。所以必須要有兩個不同角度的訊號才能定位手機的位置。

每一條方程式都可以比喻成上述之訊號路線，如果要找出正確解，必須要有兩條方程式，也就是需要兩條不同條件的方程式才能讓方程式有一解，可是如果兩條方程式為同一條件的情況下，是無法找出解的。

A、何謂同一條件：

給定一方程式：X+Y=3

相同條件之方程式為：(讓學生自己舉例)

2X+2Y=6、3X+3Y=9、-X-Y=-3....或者是X=3-Y

前者為將原方程式任意乘上一個數，

後者為移項的效果。

所以這部分的檢驗方式就是為：

AX+BY=C、DX+EY=F中

觀察A/D、B/E以及C/F的值是否一樣，如果都一樣，表示為同一方程式，其解就是無限多解。

B、何謂不同條件：

給定一方程式：X+Y=3

不同條件之方程式為：(讓學生自己舉例)

2X+Y=5、3X-Y=4.......

結論：只要不是將X+Y=3任意乘上一個數得到的方程式都可以。

因為不是將原方程式任意乘上一個數得到的新方程式，所以會發現：

AX+BY=C、DX+EY=F中

A/D與B/E的值大部分都會不一樣→即為唯一解。

此時詢問那如果是以下這狀況呢?

X+Y=3、2X+2Y=7

學生回答說：根本不可能出現這答案，還有一位學生下課跑來跟我說，如果是基地台的訊號概念，這是不是平行線的狀況???(心裡有些安慰，因為這是他自己想到的)

我解釋為：這狀況很像是在同一時間，手機(B)在兩個不同位置同時發出訊號給基地台(A)。

所以：AX+BY=C、DX+EY=F中

A/D與B/E的值相同，但跟C/F的值不同是不可能的狀況，就是所謂的無解。

方程式如何找解及其意義

以往的我在講二元一次方程式的解的時候，都是直接直述法的講述，可是往往後半段的學生都無法明白我的內容。於是在今年時，在講解這部分時，先加入撲克牌操作的方式：

   A、■+■=7 
 (其中■、■各為兩張不知道點數的撲克牌)
此時請學生找出■、■的點數各自為何？
              ■ + ■ = 7
              6     1
              5     2
              4     3
              3     4
              2     5
              1     6
此時，再將■+■=7中的■、■各自以X、Y的符號呈現(X為■的點數、Y為■的點數)
則上述的式子就會變成X+Y=7
此時學生所找出來的點數皆滿足上述例子，如果用圖表來顯示，就會變成：
Y：1  2  3  4  5  6
X：6  5  4  3  2  1
其中X+Y=7 可視為限制條件(限制X與Y的關係，即為方程式)
滿足的X、Y點數為符合限制條件的對象(即為解)
此時詢問學生：
那X=7、Y=8可否滿足？
答案是NO，因為不符合限制條件

B、■■+■=10  
(其中■、■各為兩張不知道點數的撲克牌)
此時請學生找出■、■的點數各自為何？
              ■■+■=13
              1 1  11
              2 2  9
              3 3  7
              4 4  5
              5 5  3
              6 6  1
此時，再將■■+■=13中的■、■各自以X、Y的符號呈現(X為■的點數、Y為■的點數)
則上述的式子就會變成2X+Y=13
此時學生所找出來的點數皆滿足上述例子，如果用圖表來顯示，就會變成：
Y：11  9  7  5  3  1
X：1   2  3  4   5  6
其中X+Y=10 可視為限制條件(限制X與Y的關係)
滿足的X、Y點數為符合限制條件的對象(即為解)

到此發現學生比較能接受二元一次方程式解的概念!!