求比問題

我們常看到：
3X=5Y，則X：Y=?
通常學生的答案是3：5
(學生最大的迷思及錯誤解法)
為了避免以上之結果，可以從基準量的概念出發：
先把某一項目當成基準量，將其他的項目轉換成基準量的倍數
舉例來說：
(A)若3X=5Y，把Y當成基準量，則X=5/3 Y
∴X：Y=5/3 Y：Y=5/3：1=5：3

比值與正比

我們都知道：比值一樣，則比會一樣；反之亦同。

根據上表：可以算出

？=4÷10=0.4→4成

10÷？=0.4→？=25

？÷80=0.4→？=32

其中4成是比值，4：10=10：25=32：80是比

此時會發現：

安打數如果乘以固定值，打數會跟著乘以該固定值(因為要維持打擊率為4成)

∴安打數與打數成正比

∴安打數除以打數為固定值(此為打擊率)

→安打數=打數×固定值(打擊率)

比例式的關係整理

A、如果甲：乙=1：3，則：

    1  ：  3

=  2  ：  6    (1×2    3×2)

=  3  ：  9    (1×3    3×3)

=  4  ：12    (1×4    3×4)

=......

= m  ：3m    (1×m    3×m)

由以上的式子可以得知：

(1)若甲=1，則乙=3

(2)若甲=2，則乙=6

(3)若甲=3，則乙=9

(4)若甲=4，則乙=12

......

(請注意---甲：乙=1：3，不代表甲=1、乙=3)

若甲=m，則乙=3m(此式可以視為比例式的假設)

→若甲：乙=a：b，則可以假設：

     甲=am、乙=bm      

舉例來說：

若甲：乙=2：3，且2甲+5乙=38，則甲=?

解：假設甲=2m，乙=3m，m ≠0

        4m+15m=38

        m=2

        甲=2m=4

生活上的比與比值

我們常在便利商店買牛奶，到底小包裝的牛奶跟大包裝的牛奶有何區別？這又跟數學學的比值有何關係?我們直接舉例來說明：
(1)我們拿最常見的瑞穗鮮奶的標價來討論：
    容量(ml)     售價(元)
  A     290              35
  B     930              86
  C   1858             166
這三種容量哪一種比較便宜？
學生的計算過程：
  290÷  35=8.29
  930÷  86=10.81
1858÷166=11.19
對於8.29這數值來看，我們可以解讀成1元可以買到8.29ml的牛奶
用比的概念來看：
  290：35轉換成8.29：1    
(利用正比：將左式除以35得到右式)
我們可以說290：35=8.29：1，其中的等號是代表了價值的相等。
其他兩條式子也是相同的模式，在此不再闡釋。

比與比例的意義

在日常生活上，會用到比的模式大致有兩種：
A、比賽：
這類出現的數字比如是---
35：45、72：36、7：0、0：2......等等，這些數字的功用都是在比大小(勝負)，其中0這個數字是可以出現的，因為得分可以是0分，而且"："這個符號的用意是拿來區隔數字(或分數)的。
B、比例尺、調味、......：
這類的用意是：我們要比"●●●"時，就列出其相關項目類別來做比較。
拿調味來舉例：
如果要比較糖水，那麼我們就會拿其中的糖量與水量來相比：
以下是常看到的比較類型：
比較類型           項目1   項目2     項目3
   糖水                  糖         水
   面積(矩形)       長         寬
   速率                距離     時間
   距離                速率     時間
   照片形狀          長         寬
   長方體體積      長         寬           高

以上的類型，我們會發現：如果用不到的項目是不會出現在比較的項目裡，
例如：比較糖水時，只會關照糖跟水，不會去關照鹽巴量、醬油量等等，因為用量都是0，所以0是不會出現在這類項目裡。

直線方程式變化率(斜率)的解讀

所謂直線方程式中的變化率指的是：
變化率=y值的增加量÷x值的增加量=△y÷△x
(也就是高中提到的斜率，以m表之)

1、根據上圖中，我們得知：
      (一)
           直線F的變化率=2(深藍色)
           直線I的變化率=3(綠色)
           直線N的變化率=0.5(橙色)
           直線M的變化率=6(粉紅色)

直線方程式的求法

直線方程式的求法在以往都是先假設方程式為：
y=ax+b，再將給定通過的點代入，解出a、b。

例如：求通過(4，5)、(2，-1)的直線方程式。
解法：假設方程式為y=ax+b
將(4，5)、(2，-1)帶入上述之假設方程式：
5=4a+b
-1=2a+b
解出：a=3、b=-7
所以直線方程式為：y=3x-7

以上之解法之最大問題是：為何方程式可以假設為y=ax+b，課本在解釋這部份時，花了一段篇幅
來解釋，但是學生基本上要理解會有點吃力。(因為是代數的化簡，最後變成是學生把方程式背下來，至於原因，反正考試不會考，就不需要管他，但是這真的是我們應該要給學生的學習態度嗎?)

看了CA的講授方式，透過學生的觀察方式來找答案，以激發學生的思考找答案，以下為流程：

利用存錢概念：
一開始有500元，每天存100元，則：
一開始：總金額=500+100*0
第一天：總金額=500+100*1
第二天：總金額=500+100*2
第三天：總金額=500+100*3
第四天：總金額=500+100*4
......
第x天：總金額=500+100*x

二元一次方程式與直角坐標平面圖形的對照

          代數          ←→直角坐標平面(解析幾何)
A、二元一次方程式  ←→  直線方程式
                y=b+ax     ←→   斜直線  (△y÷△x=a)
                y=m          ←→  水平線  (△y÷△x=0)
                x=n           ←→  鉛垂線  (△y÷△x不存在)
B、方程式的解(x=a、y=b)  ←→  點座標(a,b)
         二元一次方程式的解為x=a、y=b
                                    ↑
                                    ↓
           直線方程式通過點座標(a,b)
C、聯立方程組的解的意義：
        唯一解      ←→ 只有一交點
        無限多解  ←→ 無限多交點 ←→ 兩直線重合
        無解          ←→  無交點         ←→ 兩直線平行
註：
如果要求圖形交點→求方程式之聯立解

直線方程式圖形的幾何與代數意義

(一)二元一次方程式的解與直線上的點的對照：
任舉一條二元一次方程式：y=2x+1
其中可以找出滿足上式的很多解，例如：
x=0、y=1,x=1、y=3,x=-1、y=-1.......
以上之資料轉換成直角坐標平面時所代表的意義為：
y=2x+1為一直線方程式之圖形，且將方程式的解轉換為座標
也就是：
x=0、y=1→(0,1)
x=1、y=3→(1,3)
x=-1、y=-1→(-1,-1)......
也就是說：
二元一次方程式→直線方程式
其解為x=a、y=b→座標(a,b)
舉例來說：
以下哪些是方程式y=2x+1的解?
(A)x=1、y=3  (B)x=-1、y=-1  (C)x=0、y=-1

以上轉換成座標平面資料：
以下哪些點落在直線y=2x+1上?
(A)(1,3) (B)(-1,-1) (C)(0,-1)

綜合來說：
如果要檢驗某一直線方程式是否通過點(a,b)，或者點(a,b)是否落在指定之直線方程式上，就是把
(a,b)轉換成x=a、y=b，將上述的轉換的解代入指定的方程式中，如果滿足就是代表通過點(a,b)。