分數的比較大小，大概可以分為幾類：
註：以下僅討論正數部分，負數部分則為相反之結果。
A、分母相同---
分財產時，如果繼承人數都一樣時，希望長者留下之財產越多越好!!
例如：2/3、3/5
2/3=10/15
3/5=9/15
→2/3＞3/5
B、分子相同---
分財產時，如果時長者留下之財產為固定時，則繼承人數越少，可以分得的財產就越多!!
例如：2/3、3/5
2/3=6/9
3/5=6/10
→2/3＞3/5
C、神奇的互乘(這是學生跟我說的，發現還蠻好用的，只是原理要解釋一下)
將每一分子與另一數之分母相乘後，乘出之數大者，代表該分數(以分子為主)越大!!!
例如：4/7、3/5
4×5=20 ＜ 3×7=21
→ 4/7 ＜ 3/5
原理：
整數的比較大小可以一眼看出，但是分數比較有難度，所以可以利用將所有分數同時放大轉成整數後以比較出大小，則原來之大小亦是一樣的大小順序。
例如：4/7、3/5
(4/7)×7×5=4×5=20
(3/5)×7×5=3×7=21
20＜21
→ 4/7 ＜ 3/5
D、將分數直接畫成小數：
4/7=0.57....
3/5=0.6
→ 4/7＜ 3/5
2018年11月19日 星期一
分數通分的意義~~~
第一次聽到CA在敘述"3"等數字的意義時，我從沒認真思考這類問題過(數字是代表倍數概念)。
此外，任何的加減法都要先確認"1"單位的量是多少才能進行式子的合併。
我們都知道5+2=7，但是如果加了一些圖樣進去(例如：5A+2B)，此時就不能直接把5跟2相加，最明顯的例子就是：
5枚10元硬幣+2枚1元硬幣=7枚硬幣
(因為沒有顯示金額)
所以任何數字要合併都要有相同的基準量。
考慮1/2+1/3時，學生常犯的錯誤就是2/5(分子相加與分母相加)，但是當把圖示畫出來時：
1/2 ==〉 ■
1/3 ==〉 ■
會發現黑色佔的區域是不一樣的，所以無法直接合併，也就是分母不同代表大小塊不一樣，所以
要引入通分的概念，將分母變成一樣方能合併：
1/2+1/3=(1×3)/(2×3) +(1×2)/(3×2)
=3×(1/6)+2×(1/6)
=5×(1/6)
歸納：
分數相加時：
分母不同==》大小塊不一樣==》無法合併
透過通分==》把大小塊變成一樣
分母相同==》可以合併
補充：
當學生建議這部分的概念後，對於後續的未知數
合併運算，會有更有感覺!!
舉例來說：因為區塊大小不同，所以無法合併，延伸式子為2X+3Y，這已經是最後之結果，因為
X與Y算是區塊大小不一樣!!再如：□□□-□=□□
，如果以X代替□，則上式可以轉換為3X-X=2X，而非是學生誤算的3!!
此外，任何的加減法都要先確認"1"單位的量是多少才能進行式子的合併。
我們都知道5+2=7，但是如果加了一些圖樣進去(例如：5A+2B)，此時就不能直接把5跟2相加，最明顯的例子就是：
5枚10元硬幣+2枚1元硬幣=7枚硬幣
(因為沒有顯示金額)
所以任何數字要合併都要有相同的基準量。
考慮1/2+1/3時，學生常犯的錯誤就是2/5(分子相加與分母相加)，但是當把圖示畫出來時：
1/2 ==〉 ■
1/3 ==〉 ■
會發現黑色佔的區域是不一樣的，所以無法直接合併，也就是分母不同代表大小塊不一樣，所以
要引入通分的概念，將分母變成一樣方能合併：
1/2+1/3=(1×3)/(2×3) +(1×2)/(3×2)
=3×(1/6)+2×(1/6)
=5×(1/6)
歸納：
分數相加時：
分母不同==》大小塊不一樣==》無法合併
透過通分==》把大小塊變成一樣
分母相同==》可以合併
補充：
當學生建議這部分的概念後，對於後續的未知數
合併運算，會有更有感覺!!
舉例來說：因為區塊大小不同，所以無法合併，延伸式子為2X+3Y，這已經是最後之結果，因為
X與Y算是區塊大小不一樣!!再如：□□□-□=□□
，如果以X代替□，則上式可以轉換為3X-X=2X，而非是學生誤算的3!!
0為除數的迷思~~~
小學的數學曾經提過0不能當除數，可是卻沒有說過其原因，剛好在上分數的加減時，講述一下0為何不能當除數的原因。
我們都知道除法是乘法的反運算，舉例來說：
2×4=8 ==》2=8÷4
所以依照這方式：
1×0=0 ==》1=0÷0
2×0=0 ==》2=0÷0
......
？×0=0 ==》？=0÷0
會變成？可以是任何數，所以討論0÷0是無意義的，因為有太多答案!!!
但是當考慮以下的式子：
？×0=1==》會發現找不到滿足？的答案，
此時可以說？=1÷0是不存在的!!!
分數讀法的隱藏玄機~~~
但是到了國中，負號加入之後，就會產生-3 1/2該怎麼念呢?我以前是習慣念成"負三又二分之一"(這也是很多人的念法)，可是如果按照前面的敘述方式：負三又二分之一會變成 -3+1/2。
但是我們都知道-3 1/2=-3+1/2 這算式是錯誤的，在看完梅仙老師的學習單後，我開始省思這問題，結果發現梅仙老師說的"負的三又二分之一"，才是比較正確的念法：
負的三又二分之一 → – (3+1/2) = –3 –1/2，
也同時解釋了一個學生常產生的錯誤觀念：
–3 1/2= –3 – 1/2 ，而非是 –3 + 1/2!!
2018年11月14日 星期三
最小公倍數之短除法論述～～～
小學在教最小公倍數之求法時，直接利用了短除法的方式，可是如同我的學習過程當中，也沒思考過為何短除法可以求出最小公倍數，當看完ＣＡ教授的教法影片完，才恍然大悟，後來自己在思考如何能將這部分說給學生聽，又可以結合小學老師教過的方法，所以才得出了下面的教學過程：
１／２４＋１／３６的計算過程中，除了求２４與３６的Ｌ.Ｃ.Ｍ.外，小學老師會跟不會算Ｌ.Ｃ.Ｍ.的學生說，那就直接把２４與３６相乘當分母
，可是這樣的數通常都會太大，造成計算上的壓力，所以該如何變小呢（又要被２４與３６整除）？這時我跟學生提出的方法跟德州撲克玩法一樣（德州撲克是每個人會得到２張牌，此外在桌面會有３張公牌，每個人皆可利用手上的牌與桌上的公牌組合出最大的牌面）。
24×36 ＝＝〉24與36可被2分解
→2（公用）×12×18＝＝〉12與18可以被3分解
→2×3（公用）×4×6＝＝〉4與6可以被2分解
→2×3×2（公用）×2×3 ＝＝〉即為24與36的最小
公倍數
以上之過程不就是短除法求最小公倍數的過程了！！！
2 24 36
3 12 18
2 4 6
2 3
再舉一個例子：求6、9、12的L.C.M.
6×9×12一定是6、9、12的公倍數
6×9×12＝＝〉6、9、12可被3分解
→3（公用）×2×3×4＝＝〉2與4可以被2分解
→3×2（公用）×1×3×2＝＝即為6、9、12的最小
公倍數
其中3雖然不能被2分解，但是檢驗3×2×1×3×2依舊不影響可以被6、9、12整除，所以僅找出其中分解兩個數的數亦是可以讓公倍數縮小的合理方法
3 6 9 12
2 2 3 4
1 3 2
１／２４＋１／３６的計算過程中，除了求２４與３６的Ｌ.Ｃ.Ｍ.外，小學老師會跟不會算Ｌ.Ｃ.Ｍ.的學生說，那就直接把２４與３６相乘當分母
，可是這樣的數通常都會太大，造成計算上的壓力，所以該如何變小呢（又要被２４與３６整除）？這時我跟學生提出的方法跟德州撲克玩法一樣（德州撲克是每個人會得到２張牌，此外在桌面會有３張公牌，每個人皆可利用手上的牌與桌上的公牌組合出最大的牌面）。
24×36 ＝＝〉24與36可被2分解
→2（公用）×12×18＝＝〉12與18可以被3分解
→2×3（公用）×4×6＝＝〉4與6可以被2分解
→2×3×2（公用）×2×3 ＝＝〉即為24與36的最小
公倍數
以上之過程不就是短除法求最小公倍數的過程了！！！
2 24 36
3 12 18
2 4 6
2 3
再舉一個例子：求6、9、12的L.C.M.
6×9×12一定是6、9、12的公倍數
6×9×12＝＝〉6、9、12可被3分解
→3（公用）×2×3×4＝＝〉2與4可以被2分解
→3×2（公用）×1×3×2＝＝即為6、9、12的最小
公倍數
其中3雖然不能被2分解，但是檢驗3×2×1×3×2依舊不影響可以被6、9、12整除，所以僅找出其中分解兩個數的數亦是可以讓公倍數縮小的合理方法
3 6 9 12
2 2 3 4
1 3 2
2018年11月12日 星期一
利用標準分解式找最大公因數、最小公倍數~~~
課本介紹了標準分解式，可是為何要教授這部分，我是覺得為了過大的數字找最大公因數(縮寫為G.C.D.)時方便，以下介紹如何利用標準分解式找最大公因數。
在之前介紹40=1×40=2×20=4×10=5×8的分解概念時，因為40=2×2×2×5(徹底分解)，這時會發現
，40的所有因數都可以藉由標準分解式中的所有質因數(含指數)去組合出來，當學生建立起這概念後，帶出公因數的定義(C如果能夠同時將A與B分解，則稱C為A與B的公因數)及最大公因數的定義(公因數中最大的數)之後，就可以透過標準分解式
找最大公因數：
舉例：A=2^4×3^5×5、B=2^5×3^4×7
最大公因數為C，則C可以同時分解A、B
所以C可以由A與B的質因數去組合出來
所以C=2^?×3^?(因為要同時分解A與B)，
A中質因數2的部分最多可以取4個，但B中質因數2的部分最多可以取5個，所以僅能取4個，質因數
3的部分亦同上，所以僅能取4個
所以：C=2^4×3^4
可是為何公因數是最大公因數的因數呢?
最大公因數是多數整數中被分解的最大組合，公因數就是從最大組合中去挑出部分的數字組合
舉例來說：列出某班級所有學生的共同特性
全班的學號開頭、全班都是某一班號、全班的導師名字、都是新北市人等等，以上就是所謂的最大公因數的概念，但是從裡面列出部分共同特性不就是公因數的概念嗎?
那最小公倍數呢?其實就是相反的模式：
最小公倍數的定義：若A能同時被B與C分解，則稱A為B與C的最小公倍數(L.C.M.)
此時，A因為要被B跟C分解，所以B與C有的質因數(含指數)，A都必須要含括，
舉例來說：
例一：B=3×5、C=3×7
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(質因數)，也要有C的3跟7
(質因數)
所以A必須要有3、5、7，所以最小公倍數就是3×5×7
例二：B=3^2×5、C=3^4×7^2
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(3^2及5)，也要有C的3跟7
(3^4及7^2)
所以A必須要有3^4(內含3^2)、5、7^2，所以最小公倍數就是3^4×5×7^2!!
註：3^2表示3的2次方
在之前介紹40=1×40=2×20=4×10=5×8的分解概念時，因為40=2×2×2×5(徹底分解)，這時會發現
，40的所有因數都可以藉由標準分解式中的所有質因數(含指數)去組合出來，當學生建立起這概念後，帶出公因數的定義(C如果能夠同時將A與B分解，則稱C為A與B的公因數)及最大公因數的定義(公因數中最大的數)之後，就可以透過標準分解式
找最大公因數：
舉例：A=2^4×3^5×5、B=2^5×3^4×7
最大公因數為C，則C可以同時分解A、B
所以C可以由A與B的質因數去組合出來
所以C=2^?×3^?(因為要同時分解A與B)，
A中質因數2的部分最多可以取4個，但B中質因數2的部分最多可以取5個，所以僅能取4個，質因數
3的部分亦同上，所以僅能取4個
所以：C=2^4×3^4
可是為何公因數是最大公因數的因數呢?
最大公因數是多數整數中被分解的最大組合，公因數就是從最大組合中去挑出部分的數字組合
舉例來說：列出某班級所有學生的共同特性
全班的學號開頭、全班都是某一班號、全班的導師名字、都是新北市人等等，以上就是所謂的最大公因數的概念，但是從裡面列出部分共同特性不就是公因數的概念嗎?
那最小公倍數呢?其實就是相反的模式：
最小公倍數的定義：若A能同時被B與C分解，則稱A為B與C的最小公倍數(L.C.M.)
此時，A因為要被B跟C分解，所以B與C有的質因數(含指數)，A都必須要含括，
舉例來說：
例一：B=3×5、C=3×7
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(質因數)，也要有C的3跟7
(質因數)
所以A必須要有3、5、7，所以最小公倍數就是3×5×7
例二：B=3^2×5、C=3^4×7^2
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(3^2及5)，也要有C的3跟7
(3^4及7^2)
所以A必須要有3^4(內含3^2)、5、7^2，所以最小公倍數就是3^4×5×7^2!!
註：3^2表示3的2次方
2018年11月9日 星期五
集合論概述~~~
在教完倍數判別法後，習作內出現同時出現2345□既為3的倍數且為2的倍數的題目，回想自己在這單元的國中數學學習歷程中，是直接請問6的倍數的判別方式，於是花了一節課講這部分的概念。
如果把有2的因數的數字用一個圓圈框起來，
那麼請問學生：
(1)9的位置應該落在哪?(圓圈外)
(2)12的位置應該落在哪?(圓圈內)
(3)8的位置應該落在哪?(圓圈內)
(4)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有6的因數
的圈圈應該畫在哪?
(5)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有3的因數
的圈圈應該畫在哪?
此時會發現一件事：有6的因數的圈圈會同時落在
有2的因數的圈圈與有3的因數的圈圈的重疊部分
。
結論：如果要檢驗6的倍數，就要同時檢驗2的倍數與3的倍數。
最後劃出3個圈圈(有2的因數、3的因數、5的因數)
，試問：
(1)3個圈圈重疊部分指的是?(2的倍數、3的倍數、5的倍數)。
註：可以為公倍數埋伏筆!!
(2)有3的因數與5的因數的重疊處，但是扣除三個圈圈的重疊處所代表的意義為何?
(共同有3的因數與5的因數但扣除2的因數、3的倍數與5的因數三個的公倍數部分)。
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