利用標準分解式找最大公因數、最小公倍數~~~

        課本介紹了標準分解式，可是為何要教授這部分，我是覺得為了過大的數字找最大公因數(縮寫為G.C.D.)時方便，以下介紹如何利用標準分解式找最大公因數。
       在之前介紹40=1×40=2×20=4×10=5×8的分解概念時，因為40=2×2×2×5(徹底分解)，這時會發現
，40的所有因數都可以藉由標準分解式中的所有質因數(含指數)去組合出來，當學生建立起這概念後，帶出公因數的定義(C如果能夠同時將A與B分解，則稱C為A與B的公因數)及最大公因數的定義(公因數中最大的數)之後，就可以透過標準分解式
找最大公因數：
舉例：A=2^4×3^5×5、B=2^5×3^4×7
最大公因數為C，則C可以同時分解A、B
所以C可以由A與B的質因數去組合出來
所以C=2^?×3^?(因為要同時分解A與B)，
A中質因數2的部分最多可以取4個，但B中質因數2的部分最多可以取5個，所以僅能取4個，質因數
3的部分亦同上，所以僅能取4個
所以：C=2^4×3^4
可是為何公因數是最大公因數的因數呢?
最大公因數是多數整數中被分解的最大組合，公因數就是從最大組合中去挑出部分的數字組合
舉例來說：列出某班級所有學生的共同特性
全班的學號開頭、全班都是某一班號、全班的導師名字、都是新北市人等等，以上就是所謂的最大公因數的概念，但是從裡面列出部分共同特性不就是公因數的概念嗎?
那最小公倍數呢?其實就是相反的模式：
最小公倍數的定義：若A能同時被B與C分解，則稱A為B與C的最小公倍數(L.C.M.)
此時，A因為要被B跟C分解，所以B與C有的質因數(含指數)，A都必須要含括，
舉例來說：
例一：B=3×5、C=3×7
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(質因數)，也要有C的3跟7
(質因數)
所以A必須要有3、5、7，所以最小公倍數就是3×5×7
例二：B=3^2×5、C=3^4×7^2
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(3^2及5)，也要有C的3跟7
(3^4及7^2)
所以A必須要有3^4(內含3^2)、5、7^2，所以最小公倍數就是3^4×5×7^2!!
註：3^2表示3的2次方