二元一次方程式的解在直角坐標平面的轉換及呈現圖形

每一個二元一次方程式都有無限多組解，如果我們想要把全部的解寫出來，是否有辦法呢？
舉例來說：
Y=2X+1，先陳列出一些解：(紅色部分為優先找的數字)
(A)
Y   3  9  5  1......
X   1  4  2  0......
→方程式的陳列方式 
    (給一個X值(Y值)，再算出Y值(X值))
(B)
Y  3  5  7  9  11......                         
X  1  2  3  4   5......                          
→函數的陳列方式  
    (先將X值一口氣陳列，再計算出Y值) 
會發現：當X值每增加1時，Y值會跟著增加2

如果將X=1與X=2再細分下去：

Y  3  3.2  3.4  3.6  3.8  4.0......5                         
X  1  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5......2 
會發現：當X值每增加0.1時，Y值會跟著增加0.2

如果將X=1與X=1.1再細分下去：

Y  3  3.02  3.04  3.06  3.08  4.00......3.2                        X  1  1.01  1.02  1.03  1.04  1.05......1.1 
會發現：當X值每增加0.01時，Y值會跟著增加0.02

根據B的陳列方式會發現：
一直細分下去，無法陳列出所有結果，但是卻有一個特殊規律：
X值的增加量，Y值的增加量會是X值的增加量的兩倍

直角坐標軍艦棋

活動名稱：直角坐標軍艦棋

適用單元：直角坐標平面

活動器材：學習單
關鍵字：國一、軍艦棋、直角坐標
與教學內容關聯性：★★★★★ 
趣味性：★★★ ★
操作難度：★★ 
遊戲可套用性：★★
推薦度：★★★★ 

構想來源：數學奠基模組(第二期)

使用時間：45分鐘

教學流程：

每兩人一組互相對抗，進行三輪比賽。

第一輪時，在格子內先畫上2艘航空母艦(5格)、1艘巡洋艦(4格)、1艘驅逐艦(3格)，其中船艦只能橫放或直放、不能斜放，猜拳決定先後順序，喊出格子的位置(先喊橫向的英文字母、再喊直向的數字，例如：B3)，對方在聽到位置後，需核對自己的船艦布局，如果有擊中，喊

“擊中”，如果沒擊中，則喊”沒擊中”，如果有擊中，可以在進行下一次攻擊，如果沒擊中，則換對方攻擊，一直進行下去，直到一方船艦全部被擊沉為止。

第二輪時，遊戲規則相同，但是船艦改畫在線與線的交叉點上。

第三輪時，遊戲規則與第二輪相同，但需要將英文字母改成數字，而且要加入正負數。

在對抗時，可以請學生除了畫記攻擊位置外，也可以記錄攻擊位置的座標。這樣會更熟悉座標的寫法。

遊戲規則影片介紹：

https://www.youtube.com/watch?v=aVjkPCWVcfQ&t=15s

實施心得：

學生在一開始使用時，其實玩得蠻HIGH的，因為數學課難得有活動進行。連學習低成就的同學都可以在老師的協助下，慢慢熟練遊戲進行方式。

前兩輪活動的進行學生表現會比較上手、不吃力，但是到了第三輪明顯有點亂掉，因為都是用數字表達，而且還有負數的干擾，對於學習低成就的學生就明顯出現障礙了，老師在旁邊慢慢協助進行，就漸漸有改善，也慢慢知道座標的紀錄法。

過程中，發現對於學生比較吃力的除了負數的干擾外，軸上的點對學生來說也是一大挑戰，因為前兩輪都是橫軸與縱軸的交叉點，學生也很少會把船艦擺放在

最下方或最左方的邊界上，所以問題還沒很凸顯出來，但是第三輪，0的干擾明顯加重，同學雖然為敵方，但是還是會適時地幫忙確認位置。透過遊戲的方式，讓學生能夠在直角坐標平面上標記位置及根據座標找出確定位置，等後面課程再來介紹直角坐標平面的位置標記及位置讀取，應該會比較輕鬆。

聯立方程組解的判斷--修正版

考慮聯立方程組解的模式，可分為下列幾種：
A、 X+  Y=  3  ←×2
      2X+3Y=12
→    2X+2Y=6
－)  2X+3Y=12
               -Y=-6

此時會發現未知數X抵消為0了，但未知數Y未抵消為0，常數亦未抵消為0，所以方程組有一組解

B、 X+  Y=3  ←×2
      2X+3Y=6
→    2X+2Y=6
－)  2X+3Y=6
               -Y=0

此時會發現未知數X抵消了，但未知數Y未抵消，常數抵消為0，但方程組仍是為一組解

C、 X+  Y=3  ←×2
      2X+2Y=6
→    2X+2Y=6
－)  2X+2Y=6
                 0=0

此時會發現未知數X抵消為0了，未知數Y也抵消為0了，常數亦抵消為0，直接觀察之，發現上下兩條方程式是同一條，所以會出現無限多組解之狀況。

D、 X+  Y=3  ←×2
      2X+2Y=12
→    2X+2Y=6
－)  2X+2Y=12
                 0=-6

此時會發現未知數X抵消為0了，未知數Y也抵消為0了，但常數未抵消為0，這為不合理之狀況，
所以為無解

將上述之狀況整理如下：
(I)將一未知數(一般為X)利用加減消去法消去變
    為0 時，此時另一個未知數(一般為Y)如果沒
    消失(變為0)，則不管常數是否消失為0，則此
    種狀況之方程組必有一組解。
(II)將一未知數(一般為X)利用加減消去法消去 
      變為0時，此時另一個未知數(一般為Y)亦消
      失變為0時，此時就要考慮常數之狀況：
   (甲)常數如果也消失變為0，則方程組為無限
         多組解。
   (乙)常數如果沒有消失變為0，則方程組為無
          解。
修正的用意：不想讓學生一直在背係數的比
                         值關係，讓學生能有更直觀的
                        感覺，而不是在背公式。
                        

聯立方程組解的判斷~~~

手機的定位系統：
根據手機(B)發出訊號到基地台(A)，告訴基地台(A)說：持手機(B)的位置落在訊號傳送的直線AB上，但是會發現無法確定手機(B)的正確位置，所以必須由手機(B)再發出訊號給基地台(C)，此時手機(B)的位置落在訊號傳送的直線BC上，根據直線直線AB與直線BC的交點就可以確定手機(B)的位置。(如下圖所示)。但是如果手機(B)的位置如果剛好落在基地台A跟C的連線上，此時仍然是無法定位的。所以必須要有兩個不同角度的訊號才能定位手機的位置。

每一條方程式都可以比喻成上述之訊號路線，如果要找出正確解，必須要有兩條方程式，也就是需要兩條不同條件的方程式才能讓方程式有一解，可是如果兩條方程式為同一條件的情況下，是無法找出解的。

A、何謂同一條件：

給定一方程式：X+Y=3

相同條件之方程式為：(讓學生自己舉例)

2X+2Y=6、3X+3Y=9、-X-Y=-3....或者是X=3-Y

前者為將原方程式任意乘上一個數，

後者為移項的效果。

所以這部分的檢驗方式就是為：

AX+BY=C、DX+EY=F中

觀察A/D、B/E以及C/F的值是否一樣，如果都一樣，表示為同一方程式，其解就是無限多解。

B、何謂不同條件：

給定一方程式：X+Y=3

不同條件之方程式為：(讓學生自己舉例)

2X+Y=5、3X-Y=4.......

結論：只要不是將X+Y=3任意乘上一個數得到的方程式都可以。

因為不是將原方程式任意乘上一個數得到的新方程式，所以會發現：

AX+BY=C、DX+EY=F中

A/D與B/E的值大部分都會不一樣→即為唯一解。

此時詢問那如果是以下這狀況呢?

X+Y=3、2X+2Y=7

學生回答說：根本不可能出現這答案，還有一位學生下課跑來跟我說，如果是基地台的訊號概念，這是不是平行線的狀況???(心裡有些安慰，因為這是他自己想到的)

我解釋為：這狀況很像是在同一時間，手機(B)在兩個不同位置同時發出訊號給基地台(A)。

所以：AX+BY=C、DX+EY=F中

A/D與B/E的值相同，但跟C/F的值不同是不可能的狀況，就是所謂的無解。

加減消去法的原理2~~

使用加減消去法的處理流程：

A、決定要消去之未知數。

B、讓欲消去之未知數的係數(數字)利用"乘  

       法"相同。

C、利用兩方程式"相加"(係數同號：(+、+)、 

       (-、-))或"相減"(係數異號：(+、－))消去指定

       之未知數。

D、聯立方程組的未知數需要"上下對齊"

       所謂的對齊是指：

       Ax+By=C

       Dx+Ey=F