分數讀法的隱藏玄機~~~

        3 1/2的念法是三又二分之一，其中的又是"+"的意思。換句話說：3 1/2=3+1/2，
        但是到了國中，負號加入之後，就會產生-3 1/2該怎麼念呢?我以前是習慣念成"負三又二分之一"(這也是很多人的念法)，可是如果按照前面的敘述方式：負三又二分之一會變成 -3+1/2。
        但是我們都知道-3 1/2=-3+1/2 這算式是錯誤的，在看完梅仙老師的學習單後，我開始省思這問題，結果發現梅仙老師說的"負的三又二分之一"，才是比較正確的念法：
負的三又二分之一 → – (3+1/2) =  –3 –1/2，
也同時解釋了一個學生常產生的錯誤觀念：
–3 1/2= –3 – 1/2 ，而非是 –3 + 1/2!!

最小公倍數之短除法論述～～～

　　小學在教最小公倍數之求法時，直接利用了短除法的方式，可是如同我的學習過程當中，也沒思考過為何短除法可以求出最小公倍數，當看完ＣＡ教授的教法影片完，才恍然大悟，後來自己在思考如何能將這部分說給學生聽，又可以結合小學老師教過的方法，所以才得出了下面的教學過程：
１／２４＋１／３６的計算過程中，除了求２４與３６的Ｌ.Ｃ.Ｍ.外，小學老師會跟不會算Ｌ.Ｃ.Ｍ.的學生說，那就直接把２４與３６相乘當分母
，可是這樣的數通常都會太大，造成計算上的壓力，所以該如何變小呢（又要被２４與３６整除）？這時我跟學生提出的方法跟德州撲克玩法一樣（德州撲克是每個人會得到２張牌，此外在桌面會有３張公牌，每個人皆可利用手上的牌與桌上的公牌組合出最大的牌面）。
　　　　24×36　　＝＝〉24與36可被2分解
→2（公用）×12×18＝＝〉12與18可以被3分解
→2×3（公用）×4×6＝＝〉4與6可以被2分解
→2×3×2（公用）×2×3 ＝＝〉即為24與36的最小 
                                                     公倍數
以上之過程不就是短除法求最小公倍數的過程了！！！

　　　　　2　24　36
　　　　　3　12　18
　　　　　2　4　　6
　　　　　     2         3
再舉一個例子：求6、9、12的L.C.M.
6×9×12一定是6、9、12的公倍數

                     6×9×12＝＝〉6、9、12可被3分解
→3（公用）×2×3×4＝＝〉2與4可以被2分解
→3×2（公用）×1×3×2＝＝即為6、9、12的最小 
                                               公倍數
其中3雖然不能被2分解，但是檢驗3×2×1×3×2依舊不影響可以被6、9、12整除，所以僅找出其中分解兩個數的數亦是可以讓公倍數縮小的合理方法

                    3　6　9    12
　　　　　2　2　3     4
　　　　　 　1　3     2

　　　　　     

利用標準分解式找最大公因數、最小公倍數~~~

        課本介紹了標準分解式，可是為何要教授這部分，我是覺得為了過大的數字找最大公因數(縮寫為G.C.D.)時方便，以下介紹如何利用標準分解式找最大公因數。
       在之前介紹40=1×40=2×20=4×10=5×8的分解概念時，因為40=2×2×2×5(徹底分解)，這時會發現
，40的所有因數都可以藉由標準分解式中的所有質因數(含指數)去組合出來，當學生建立起這概念後，帶出公因數的定義(C如果能夠同時將A與B分解，則稱C為A與B的公因數)及最大公因數的定義(公因數中最大的數)之後，就可以透過標準分解式
找最大公因數：
舉例：A=2^4×3^5×5、B=2^5×3^4×7
最大公因數為C，則C可以同時分解A、B
所以C可以由A與B的質因數去組合出來
所以C=2^?×3^?(因為要同時分解A與B)，
A中質因數2的部分最多可以取4個，但B中質因數2的部分最多可以取5個，所以僅能取4個，質因數
3的部分亦同上，所以僅能取4個
所以：C=2^4×3^4
可是為何公因數是最大公因數的因數呢?
最大公因數是多數整數中被分解的最大組合，公因數就是從最大組合中去挑出部分的數字組合
舉例來說：列出某班級所有學生的共同特性
全班的學號開頭、全班都是某一班號、全班的導師名字、都是新北市人等等，以上就是所謂的最大公因數的概念，但是從裡面列出部分共同特性不就是公因數的概念嗎?
那最小公倍數呢?其實就是相反的模式：
最小公倍數的定義：若A能同時被B與C分解，則稱A為B與C的最小公倍數(L.C.M.)
此時，A因為要被B跟C分解，所以B與C有的質因數(含指數)，A都必須要含括，
舉例來說：
例一：B=3×5、C=3×7
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(質因數)，也要有C的3跟7
(質因數)
所以A必須要有3、5、7，所以最小公倍數就是3×5×7
例二：B=3^2×5、C=3^4×7^2
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(3^2及5)，也要有C的3跟7
(3^4及7^2)
所以A必須要有3^4(內含3^2)、5、7^2，所以最小公倍數就是3^4×5×7^2!!
註：3^2表示3的2次方

集合論概述~~~

        在教完倍數判別法後，習作內出現同時出現2345□既為3的倍數且為2的倍數的題目，回想自己在這單元的國中數學學習歷程中，是直接請問6的倍數的判別方式，於是花了一節課講這部分的概念。

        如果把有2的因數的數字用一個圓圈框起來，

那麼請問學生：

(1)9的位置應該落在哪?(圓圈外)

(2)12的位置應該落在哪?(圓圈內)

(3)8的位置應該落在哪?(圓圈內)

(4)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有6的因數

     的圈圈應該畫在哪?

(5)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有3的因數

     的圈圈應該畫在哪?

此時會發現一件事：有6的因數的圈圈會同時落在

有2的因數的圈圈與有3的因數的圈圈的重疊部分

。

結論：如果要檢驗6的倍數，就要同時檢驗2的倍數與3的倍數。

最後劃出3個圈圈(有2的因數、3的因數、5的因數)

，試問：

(1)3個圈圈重疊部分指的是?(2的倍數、3的倍數、5的倍數)。

註：可以為公倍數埋伏筆!!

(2)有3的因數與5的因數的重疊處，但是扣除三個圈圈的重疊處所代表的意義為何?

(共同有3的因數與5的因數但扣除2的因數、3的倍數與5的因數三個的公倍數部分)。

倍數判別法的解析之11的倍數

        今天講述了倍數判別法的最後一個部分---11的倍數，本以為學生應該很難進入設定的狀況，但是學生的反應比我想像中的理想，慢慢可以感覺到他們有開始在思考數學了!!!
        判別27439651除以11的餘數為何?
      20000000÷11......9   →發現2+9=11
        7000000÷11......7   →發現餘數與開頭數字一樣
          400000÷11......7   →發現4+7=11
            30000÷11......3   →發現餘數與開頭數字一樣
              9000÷11......2   →發現9+2=11
                600÷11......6   →發現餘數與開頭數字一樣
                  50÷11......6   →發現5+6=11
                    1÷11......1   →發現餘數與開頭數字一樣

20÷3......2  →餘數為2，可以理解成不足1
如果餘數為2，記為 2，那麼不足1可以記為-1
利用這個概念，將上述之餘數處理一下：
   20000000÷11......9   →餘9→不足2→-2
     7000000÷11......7   →發現餘數與開頭數字一樣
       400000÷11......7   →餘7→不足4→-4
         30000÷11......3   →發現餘數與開頭數字一樣
           9000÷11......2   →餘2→不足9→-9
             600÷11......6   →發現餘數與開頭數字一樣
               50÷11......6   →餘6→不足5→-5
                 1÷11......1   →發現餘數與開頭數字一樣
此時：餘數為(1+6+3+7)-(5+9+4+2)=-3→不足3
                                                                  →餘8
此時就可以導出：27439651÷11的餘數判別方法了!!!

倍數判別法的解析之2、4、8、5的倍數~~

4的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以4的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以4的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以4的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以4的餘數。

B、從上述之表格中，會發現百位數以上的餘數都是0，故僅需考慮十位數+個位數(也就是末兩位數)
→4的判別法為末兩位數可否被4整除。

舉例來說：
判別9652是否為4的倍數？
52÷4......0  所以9652必可以被4整除

8的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以8的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以8的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以8的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以8的餘數。

B、從上述之表格中，會發現千位數以上的餘數都是0，故僅需考慮百位數+十位數+個位數(也就是末三位數)
→8的判別法為末三位數可否被8整除。

舉例來說：
判別9652是否為8的倍數？
652÷8......4  所以9652可被8除  會餘4!!

2的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以2的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以2的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以2的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以2的餘數。

B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→2的判別法為末位數可否被2整除。

舉例來說：
判別9652是否為2的倍數？
2÷2......0  所以9652可被2整除!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、2、4、6、8  
        就可以被2整除

統整：A÷2→末位數能否被2整除
           A÷4→末兩位數能否4整除
           A÷8→末位數能否被8整除
           ..........
           A÷2^n→末n位數能否被2^n整除

5的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以5的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以5的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以5的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以5的餘數。

B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→5的判別法為末位數可否被5整除。

舉例來說：
判別9652是否為5的倍數？
2÷5......2  所以9652可被5除,餘數為2!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、5  
        就可以被5整除

倍數判別法之3的倍數分析~~

教學流程：       
A、一開始用分東西的概念來建立學生的印象(一副不知張數的撲克牌平均分給3位同學，其分法可以一位同學一張一張發，最後剩幾張就是餘數，也可以將整副撲克牌分成兩堆給兩位同學同時分，最後將剩餘張數加總，看夠不夠再分，這時帶出剩4張跟剩1張的狀況是一樣的(針對餘數的概念而言))。

B、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以3的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以3的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以3的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以3的餘數。

舉例來說：
判別9651是否為3的倍數？
9651=9000+600+50+1(分為千位、百位、十位及個位)
     9000除以3......0(相當於餘9)
       600除以3......0(相當於餘6)
         50除以3......2(相當於餘5)
           1除以3......1
此時餘數總和為9+6+5+1，再除以3，最後得出餘數為0
所以：9651除以3......0
所以表格之規則為：
ABCD÷3....?
A000÷3...A
  B00÷3...B
    C0÷3...C
      D÷3...D

所以ABCD除以3的餘數為(A+B+C+D+)除以3的餘數
以上不就是3的倍數的判別方式嗎?(各數字總和是否為3的倍數)