一元一次方程式之綜合題目~~

A、利用以下之例子來說明：
□□□+5=20
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
□=(20-5)÷3
換句話說，解題的大原則為：
□保持在左邊，將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
再當把□轉成x時，則整個過程為：
3x+5=20
3x=20-5=15  (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=15÷3=5     (左邊的×3消失，右邊出現了÷3)
換句話說，解題的大原則為：
將原來的x保持在左邊，
再將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
B、利用以下之例子來說明：
□□□□□+5=□□□+19
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
左右各消去3個□，變成：
□□+5=19
然後：
□=(19-5)÷2
換句話說，解題的大原則為：
等式兩邊的□互相消去只剩下左邊的2個□，
再將等式左右兩邊的5、19移動成在右邊的14
當把□轉成x時，則整個過程為：
5x+5=3x+19
5x-3x+5=+19  (右邊的3x消失，左邊出現了-3x)
2x+5=+19     
2x=+19-5=14 (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=14÷2=7(左邊的×2消失，右邊出現了÷2)
這部分造成學生很大的困擾：
困擾一：仍是x這符號造成的困惑
困擾二：因為兩邊都有x，所以不知道該如何處理
提供一個小訣竅：
因為是要解出x=?，所以最後得到的式子一定為：
△x=●
所以可以直接將所有的x都弄到等式的左邊，剩下的已知數都弄到等式的右邊，就能得到最後的x值了。
C、分式方程式的處理：
其實這部分讓我困擾很久，一直在想如何讓學生有個比較好感覺的解釋方式，不直接利用等量乘法公理的原因是學生會很濫用同乘的方法，舉例來說：
(x－3)/2 －(2x－1)/3   (學生會直接"×6")
=3(x－3)－2(2x－1)  
就會造成計算過程的誤解了。

我讓學生先寫一下：(x-3)/5 －(x-2)/3=1
學生通常直接通分：3(x-3)/15 －5(x-2)/15 =1
(-2x+1)/15=1  (學生就卡住了)
此時，我會問學生卡住的原因是為何。
如果把15消除呢，該怎麼處理?
學生就知道右邊要×15了，因為消除的15是÷15
另外，我會提供另一個想法：
(-2x+1)/15=1=15/15
此時問到：如果兩個分數相同而且分母也相同，
會得到何種結果?
慢慢引導學生得出分子也相同的概念，則就會：
(-2x+1)=15
寫到這裡，真的發現：以往在教方程式的解法
時，從來沒去想過學生會遇到的困難，總覺得
這應該很簡單，此次當從學生的角度去思考時，
才發現這麼多的問題，雖然走得很辛苦，但是希
望是值得的。
希望學生不是為了解方程式而硬背下移項法則，
及濫用等量乘除法公理的概念。

一元一次方程式之乘除法~~

利用以下之例子來說明乘法的處理方式：
    □×3=15
→□=15÷3
當左式的×3消失時，右邊會出現÷3的動作
基本上，上述的方式，學生可以很快的得知結果
再將□轉成x時，就會得到：
    3x=15
→x=15÷3 
可是：學生對於x的認識仍有所恐懼。所以，這部分需要慢慢熟悉之。

利用以下之例子來說明乘法的處理方式：
    □÷3=15
→□=15×3
當左式的÷3消失時，右邊會出現×3的動作
基本上，上述的方式，學生可以很快的得知結果
再將□轉成x時，就會得到：
    x÷3=15  (x÷3=x/3=1/3 x)
→x=15×3 
可是：學生對於x的認識仍有所恐懼。所以，這部分需要慢慢熟悉之。
另外，上面的算式通常會變成：
    1/3 x=15
→x=15÷1/3

一元一次方程式之加減法處理~~

        每次開始這單元時，都是在介紹等量公理，
然後就簡化成移項法則，可是學生對於等量公理
只是依樣畫葫蘆，美其名只是在抄襲，到後面的
移項法則就類似像背公式一樣，照著老師的講法
在解題，但是本次的一元一次方程式參考了CA
教授及梅仙老師的影片、學習單，讓學生先從填
空格開始下手，因為發現學生對於填空格的能力
很強，會想嘗試去知道到底該填多少才能符合等
式，從學生的思考當中慢慢去得到想要的答案。

學生對於這部分都可以輕鬆完成，於是乎可以開始進行下一步驟之引導：

□+100=500→□=500-100

左邊的+100消失了，右邊的-100出現了

這不就是等量公理嗎？

這時候再來解釋等量公理會比較更有感!!

□-30=500→□=500+30

左邊的-30消失了，右邊的+30出現了

這不就是等量公理嗎？

這時候再來解釋等量公理會比較更有感!!

利用小學簡單的算式來解釋上列的現象會更清

楚。

如果要將□+3=5中的□+3還原成□，就是直接-3，那麼右邊就是跟著-3!!

如果要將□-3=2中的□-3還原成□，就是直接+3，那麼右邊就是跟著+3!!

先讓學生慢慢建立這習慣，對於後面的方程式的解法(移項法則)就會有水到渠成的效果。

未知數之拆括號~~

        每次教到這邊時，都是惡夢的開始，因為學生常因為分配律的問題而搞錯、或者是忘記變號，於是經過一整晚的沉思後，設計了這份簡報。
         因為學生對於圖像會有強烈的印象，再加上前面分數加減乘除對於長條形的熟悉度，於是直接將未知數轉成圖像，然後利用數字乘法為複製倍數的概念、"負號"為相反的概念，將拆括號的練習逐步拆解成圖像，學生基本上都可以聽懂這部分，甚至對於-2x+5+7x-9的計算也可以馬上上手
。
舉例來說：
-2x+5+7x-9→  (-2x)     (+5)  (+7x)   (-9)  
學生會自動將A、(-2x)、(+7x)合併為(+5x)
                        B、(+5)、(-9) 合併為-4
最後再將A與B合併為5x-4

拆括號部分：
直接參閱簡報之內容，逐步圖像拆解。

未知數符號的置入~~

總算進入到未知數的世界了，以前在將未知數X置入時，其實對於學生來講應該有點難度，因為非常的抽象，但是這次因為有前面分數加減乘除的鋪路，使得未知數X得出現可以變得理所當然，因為要將分數加減中的長方形替換掉，就換成了X的呈現方式，也更容易讓學生不會出現以往常出現的錯誤計算：
2X-X=2(錯誤，因為學生誤以為把X消除了，類似1 2/3 - 2/3=1的模式)

在下面的簡報中，學生也更容易建立不同符號是無法直接合併的概念。

下面的簡報就是未知數符號X的轉換了!!

未知數的概念~~

        以往在上一元一次方程式的時候，都是直接進入題目的導讀，但是這次卻是利用梅仙學姊的學習單讓學生先完成，並找出缺乏的條件以及題目間的關係式，在一節課的時間讓學生回答缺少條件及關係，學生皆能踴躍搶答答案，希望能讓後來的未知數X導入時，能有更好的先備知識。

        將關係式中的缺少條件轉換成未知數X時，則用未知數代表另一個未知數的概念不就建立起來了嗎??甚至在最後一頁中，何者為未知數、何者為已知數不就是顯而易見了嗎?

 

分數的除法意義

這節課一開始就問學生10除以2的意義為何？學生的答案幾乎都是將10分成兩份，每一份的數目為5
，當繼續問說還有其他解釋方法時，學生就都卡住了，只有很少部分的人會想到將10個物品分成每兩個物品一堆時，共可以分成5堆的想法。

這時候送上小學的一題除法題目，這題在國中的段考也常出現(習作也有)，學生常會有錯誤答案
：

學生的答案通常為4瓶，剩下1/2公升，此時我問學生說，你們不會覺得奇怪嗎?前面的4單位是瓶，後者的1/2單位卻是公升，合理嗎?學生這時才會發現錯誤，此時的4又1/2指的是4又1/2瓶的2/3公升，所以會剩下1/2瓶的2/3公升。
這時候緊接著鋪下一個脈絡，如果將1張千元鈔票
與2張百元鈔票，以2張百元鈔票分一堆時，答案會是1.5堆嗎？(因為總共3張鈔票分成2張一堆)學生都知道這樣的計算方式是錯的，正確是要將千元鈔票換成10張百元鈔票，再將12張百元鈔票分成6堆的兩張百元鈔票，此時要引導的概念是要分堆，一定要用相同單位才能分堆。

此時開始進入分數的除法原理推導：
10/3÷3/2=(10×2/3×2)÷(3×3/2×3)
=(10×2)個(1/3×2)÷(3×3)個(1/3×2)
=(10×2)÷(3×3)
=(10×2)/(3×3)
=10/3×2/3
所以除以3/2就相當於乘以2/3，這不就是倒數的概念了嗎？

分數乘法的意義~~~

當課本提到兩分數的乘法時，只告知其方法為：分子相乘/分母相乘---小學已教過，可是當我問學生時，他們回答說就是這樣算，問到為何時，卻答不出來，這好像是目前數學的最大盲點：為了計算而計算或為了考試而考試。於是努力做足功課，參考CA教授的教學影片，設計了一連串的簡報。
數字的意義是為何？我竟然無法回答這問題，其實答案很簡單，就是倍數概念。×3可以想成複製
某物為3倍，÷3可以想成分割某物成3份取其一份，當把A×3時，會變成AAA，反之，AAA÷3時會得出A，此外也可以將A視為AAA的1/3，所以
÷3跟×1/3效果是一樣的。

於是可以利用上面的概念講述：將□乘以1/3再乘以1/2，就會將原來的□分割成6份取其一份。

如果將□乘以7/5時，其中分母的5是將其分割成5份取其一份，分子的7是將前列的分割後的狀態再複製成7份。

按照上述之模式，則兩分數的相乘之過程就會如下方之照片呈現。

於是，課本敘述的分數乘法方式就自然而然出現了。

分數比較大小~~~

分數的比較大小，大概可以分為幾類：
註：以下僅討論正數部分，負數部分則為相反之結果。
A、分母相同---
分財產時，如果繼承人數都一樣時，希望長者留下之財產越多越好!!
例如：2/3、3/5
2/3=10/15
3/5=9/15
→2/3＞3/5
B、分子相同---
分財產時，如果時長者留下之財產為固定時，則繼承人數越少，可以分得的財產就越多!!
例如：2/3、3/5
2/3=6/9
3/5=6/10

→2/3＞3/5
C、神奇的互乘(這是學生跟我說的，發現還蠻好用的，只是原理要解釋一下)
將每一分子與另一數之分母相乘後，乘出之數大者，代表該分數(以分子為主)越大!!!
例如：4/7、3/5
4×5=20 ＜ 3×7=21
→ 4/7 ＜ 3/5
原理：
整數的比較大小可以一眼看出，但是分數比較有難度，所以可以利用將所有分數同時放大轉成整數後以比較出大小，則原來之大小亦是一樣的大小順序。
例如：4/7、3/5
(4/7)×7×5=4×5=20
(3/5)×7×5=3×7=21
20＜21
→ 4/7 ＜ 3/5
D、將分數直接畫成小數：
4/7=0.57....
3/5=0.6
→ 4/7＜ 3/5

分數通分的意義~~~

        第一次聽到CA在敘述"3"等數字的意義時，我從沒認真思考這類問題過(數字是代表倍數概念)。 
        此外，任何的加減法都要先確認"1"單位的量是多少才能進行式子的合併。
        我們都知道5+2=7，但是如果加了一些圖樣進去(例如：5A+2B)，此時就不能直接把5跟2相加，最明顯的例子就是：
        5枚10元硬幣+2枚1元硬幣=7枚硬幣
        (因為沒有顯示金額)
所以任何數字要合併都要有相同的基準量。
考慮1/2+1/3時，學生常犯的錯誤就是2/5(分子相加與分母相加)，但是當把圖示畫出來時：
1/2  ==〉 ■  
1/3  ==〉 ■   
會發現黑色佔的區域是不一樣的，所以無法直接合併，也就是分母不同代表大小塊不一樣，所以
要引入通分的概念，將分母變成一樣方能合併：
1/2+1/3=(1×3)/(2×3) +(1×2)/(3×2)
             =3×(1/6)+2×(1/6)
             =5×(1/6)
歸納：
分數相加時：
分母不同==》大小塊不一樣==》無法合併
透過通分==》把大小塊變成一樣
分母相同==》可以合併

補充：
當學生建議這部分的概念後，對於後續的未知數
合併運算，會有更有感覺!!
舉例來說：因為區塊大小不同，所以無法合併，延伸式子為2X+3Y，這已經是最後之結果，因為
X與Y算是區塊大小不一樣!!再如：□□□-□=□□
，如果以X代替□，則上式可以轉換為3X-X=2X，而非是學生誤算的3!!

0為除數的迷思~~~

        小學的數學曾經提過0不能當除數，可是卻沒有說過其原因，剛好在上分數的加減時，講述一下0為何不能當除數的原因。

      我們都知道除法是乘法的反運算，舉例來說：

               2×4=8 ==》2=8÷4

      所以依照這方式：

               1×0=0 ==》1=0÷0

               2×0=0 ==》2=0÷0

               ......

               ？×0=0 ==》？=0÷0  

會變成？可以是任何數，所以討論0÷0是無意義的，因為有太多答案!!!

       但是當考慮以下的式子：

       ？×0=1==》會發現找不到滿足？的答案，

此時可以說？=1÷0是不存在的!!!

          

分數讀法的隱藏玄機~~~

        3 1/2的念法是三又二分之一，其中的又是"+"的意思。換句話說：3 1/2=3+1/2，
        但是到了國中，負號加入之後，就會產生-3 1/2該怎麼念呢?我以前是習慣念成"負三又二分之一"(這也是很多人的念法)，可是如果按照前面的敘述方式：負三又二分之一會變成 -3+1/2。
        但是我們都知道-3 1/2=-3+1/2 這算式是錯誤的，在看完梅仙老師的學習單後，我開始省思這問題，結果發現梅仙老師說的"負的三又二分之一"，才是比較正確的念法：
負的三又二分之一 → – (3+1/2) =  –3 –1/2，
也同時解釋了一個學生常產生的錯誤觀念：
–3 1/2= –3 – 1/2 ，而非是 –3 + 1/2!!

最小公倍數之短除法論述～～～

　　小學在教最小公倍數之求法時，直接利用了短除法的方式，可是如同我的學習過程當中，也沒思考過為何短除法可以求出最小公倍數，當看完ＣＡ教授的教法影片完，才恍然大悟，後來自己在思考如何能將這部分說給學生聽，又可以結合小學老師教過的方法，所以才得出了下面的教學過程：
１／２４＋１／３６的計算過程中，除了求２４與３６的Ｌ.Ｃ.Ｍ.外，小學老師會跟不會算Ｌ.Ｃ.Ｍ.的學生說，那就直接把２４與３６相乘當分母
，可是這樣的數通常都會太大，造成計算上的壓力，所以該如何變小呢（又要被２４與３６整除）？這時我跟學生提出的方法跟德州撲克玩法一樣（德州撲克是每個人會得到２張牌，此外在桌面會有３張公牌，每個人皆可利用手上的牌與桌上的公牌組合出最大的牌面）。
　　　　24×36　　＝＝〉24與36可被2分解
→2（公用）×12×18＝＝〉12與18可以被3分解
→2×3（公用）×4×6＝＝〉4與6可以被2分解
→2×3×2（公用）×2×3 ＝＝〉即為24與36的最小 
                                                     公倍數
以上之過程不就是短除法求最小公倍數的過程了！！！

　　　　　2　24　36
　　　　　3　12　18
　　　　　2　4　　6
　　　　　     2         3
再舉一個例子：求6、9、12的L.C.M.
6×9×12一定是6、9、12的公倍數

                     6×9×12＝＝〉6、9、12可被3分解
→3（公用）×2×3×4＝＝〉2與4可以被2分解
→3×2（公用）×1×3×2＝＝即為6、9、12的最小 
                                               公倍數
其中3雖然不能被2分解，但是檢驗3×2×1×3×2依舊不影響可以被6、9、12整除，所以僅找出其中分解兩個數的數亦是可以讓公倍數縮小的合理方法

                    3　6　9    12
　　　　　2　2　3     4
　　　　　 　1　3     2

　　　　　     

利用標準分解式找最大公因數、最小公倍數~~~

        課本介紹了標準分解式，可是為何要教授這部分，我是覺得為了過大的數字找最大公因數(縮寫為G.C.D.)時方便，以下介紹如何利用標準分解式找最大公因數。
       在之前介紹40=1×40=2×20=4×10=5×8的分解概念時，因為40=2×2×2×5(徹底分解)，這時會發現
，40的所有因數都可以藉由標準分解式中的所有質因數(含指數)去組合出來，當學生建立起這概念後，帶出公因數的定義(C如果能夠同時將A與B分解，則稱C為A與B的公因數)及最大公因數的定義(公因數中最大的數)之後，就可以透過標準分解式
找最大公因數：
舉例：A=2^4×3^5×5、B=2^5×3^4×7
最大公因數為C，則C可以同時分解A、B
所以C可以由A與B的質因數去組合出來
所以C=2^?×3^?(因為要同時分解A與B)，
A中質因數2的部分最多可以取4個，但B中質因數2的部分最多可以取5個，所以僅能取4個，質因數
3的部分亦同上，所以僅能取4個
所以：C=2^4×3^4
可是為何公因數是最大公因數的因數呢?
最大公因數是多數整數中被分解的最大組合，公因數就是從最大組合中去挑出部分的數字組合
舉例來說：列出某班級所有學生的共同特性
全班的學號開頭、全班都是某一班號、全班的導師名字、都是新北市人等等，以上就是所謂的最大公因數的概念，但是從裡面列出部分共同特性不就是公因數的概念嗎?
那最小公倍數呢?其實就是相反的模式：
最小公倍數的定義：若A能同時被B與C分解，則稱A為B與C的最小公倍數(L.C.M.)
此時，A因為要被B跟C分解，所以B與C有的質因數(含指數)，A都必須要含括，
舉例來說：
例一：B=3×5、C=3×7
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(質因數)，也要有C的3跟7
(質因數)
所以A必須要有3、5、7，所以最小公倍數就是3×5×7
例二：B=3^2×5、C=3^4×7^2
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(3^2及5)，也要有C的3跟7
(3^4及7^2)
所以A必須要有3^4(內含3^2)、5、7^2，所以最小公倍數就是3^4×5×7^2!!
註：3^2表示3的2次方

集合論概述~~~

        在教完倍數判別法後，習作內出現同時出現2345□既為3的倍數且為2的倍數的題目，回想自己在這單元的國中數學學習歷程中，是直接請問6的倍數的判別方式，於是花了一節課講這部分的概念。

        如果把有2的因數的數字用一個圓圈框起來，

那麼請問學生：

(1)9的位置應該落在哪?(圓圈外)

(2)12的位置應該落在哪?(圓圈內)

(3)8的位置應該落在哪?(圓圈內)

(4)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有6的因數

     的圈圈應該畫在哪?

(5)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有3的因數

     的圈圈應該畫在哪?

此時會發現一件事：有6的因數的圈圈會同時落在

有2的因數的圈圈與有3的因數的圈圈的重疊部分

。

結論：如果要檢驗6的倍數，就要同時檢驗2的倍數與3的倍數。

最後劃出3個圈圈(有2的因數、3的因數、5的因數)

，試問：

(1)3個圈圈重疊部分指的是?(2的倍數、3的倍數、5的倍數)。

註：可以為公倍數埋伏筆!!

(2)有3的因數與5的因數的重疊處，但是扣除三個圈圈的重疊處所代表的意義為何?

(共同有3的因數與5的因數但扣除2的因數、3的倍數與5的因數三個的公倍數部分)。

倍數判別法的解析之11的倍數

        今天講述了倍數判別法的最後一個部分---11的倍數，本以為學生應該很難進入設定的狀況，但是學生的反應比我想像中的理想，慢慢可以感覺到他們有開始在思考數學了!!!
        判別27439651除以11的餘數為何?
      20000000÷11......9   →發現2+9=11
        7000000÷11......7   →發現餘數與開頭數字一樣
          400000÷11......7   →發現4+7=11
            30000÷11......3   →發現餘數與開頭數字一樣
              9000÷11......2   →發現9+2=11
                600÷11......6   →發現餘數與開頭數字一樣
                  50÷11......6   →發現5+6=11
                    1÷11......1   →發現餘數與開頭數字一樣

20÷3......2  →餘數為2，可以理解成不足1
如果餘數為2，記為 2，那麼不足1可以記為-1
利用這個概念，將上述之餘數處理一下：
   20000000÷11......9   →餘9→不足2→-2
     7000000÷11......7   →發現餘數與開頭數字一樣
       400000÷11......7   →餘7→不足4→-4
         30000÷11......3   →發現餘數與開頭數字一樣
           9000÷11......2   →餘2→不足9→-9
             600÷11......6   →發現餘數與開頭數字一樣
               50÷11......6   →餘6→不足5→-5
                 1÷11......1   →發現餘數與開頭數字一樣
此時：餘數為(1+6+3+7)-(5+9+4+2)=-3→不足3
                                                                  →餘8
此時就可以導出：27439651÷11的餘數判別方法了!!!

倍數判別法的解析之2、4、8、5的倍數~~

4的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以4的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以4的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以4的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以4的餘數。

B、從上述之表格中，會發現百位數以上的餘數都是0，故僅需考慮十位數+個位數(也就是末兩位數)
→4的判別法為末兩位數可否被4整除。

舉例來說：
判別9652是否為4的倍數？
52÷4......0  所以9652必可以被4整除

8的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以8的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以8的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以8的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以8的餘數。

B、從上述之表格中，會發現千位數以上的餘數都是0，故僅需考慮百位數+十位數+個位數(也就是末三位數)
→8的判別法為末三位數可否被8整除。

舉例來說：
判別9652是否為8的倍數？
652÷8......4  所以9652可被8除  會餘4!!

2的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以2的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以2的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以2的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以2的餘數。

B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→2的判別法為末位數可否被2整除。

舉例來說：
判別9652是否為2的倍數？
2÷2......0  所以9652可被2整除!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、2、4、6、8  
        就可以被2整除

統整：A÷2→末位數能否被2整除
           A÷4→末兩位數能否4整除
           A÷8→末位數能否被8整除
           ..........
           A÷2^n→末n位數能否被2^n整除

5的倍數判別法教學流程：       
A、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以5的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以5的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以5的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以5的餘數。

B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→5的判別法為末位數可否被5整除。

舉例來說：
判別9652是否為5的倍數？
2÷5......2  所以9652可被5除,餘數為2!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、5  
        就可以被5整除

倍數判別法之3的倍數分析~~

教學流程：       
A、一開始用分東西的概念來建立學生的印象(一副不知張數的撲克牌平均分給3位同學，其分法可以一位同學一張一張發，最後剩幾張就是餘數，也可以將整副撲克牌分成兩堆給兩位同學同時分，最後將剩餘張數加總，看夠不夠再分，這時帶出剩4張跟剩1張的狀況是一樣的(針對餘數的概念而言))。

B、請學生先完成表格：
 (1)1、2、3、......、9 除以3的餘數。
 (2)10、20、30、......、90 除以3的餘數。
 (3)100、200、300、......、900除以3的餘數。
 (4)1000、2000、3000、......、9000 除以3的餘數。

舉例來說：
判別9651是否為3的倍數？
9651=9000+600+50+1(分為千位、百位、十位及個位)
     9000除以3......0(相當於餘9)
       600除以3......0(相當於餘6)
         50除以3......2(相當於餘5)
           1除以3......1
此時餘數總和為9+6+5+1，再除以3，最後得出餘數為0
所以：9651除以3......0
所以表格之規則為：
ABCD÷3....?
A000÷3...A
  B00÷3...B
    C0÷3...C
      D÷3...D

所以ABCD除以3的餘數為(A+B+C+D+)除以3的餘數
以上不就是3的倍數的判別方式嗎?(各數字總和是否為3的倍數)