分數的比較大小，大概可以分為幾類：
註：以下僅討論正數部分，負數部分則為相反之結果。
A、分母相同---
分財產時，如果繼承人數都一樣時，希望長者留下之財產越多越好!!
例如：2/3、3/5
2/3=10/15
3/5=9/15
→2/3＞3/5
B、分子相同---
分財產時，如果時長者留下之財產為固定時，則繼承人數越少，可以分得的財產就越多!!
例如：2/3、3/5
2/3=6/9
3/5=6/10
→2/3＞3/5
C、神奇的互乘(這是學生跟我說的，發現還蠻好用的，只是原理要解釋一下)
將每一分子與另一數之分母相乘後，乘出之數大者，代表該分數(以分子為主)越大!!!
例如：4/7、3/5
4×5=20 ＜ 3×7=21
→ 4/7 ＜ 3/5
原理：
整數的比較大小可以一眼看出，但是分數比較有難度，所以可以利用將所有分數同時放大轉成整數後以比較出大小，則原來之大小亦是一樣的大小順序。
例如：4/7、3/5
(4/7)×7×5=4×5=20
(3/5)×7×5=3×7=21
20＜21
→ 4/7 ＜ 3/5
D、將分數直接畫成小數：
4/7=0.57....
3/5=0.6
→ 4/7＜ 3/5
2018年11月19日 星期一
分數通分的意義~~~
第一次聽到CA在敘述"3"等數字的意義時，我從沒認真思考這類問題過(數字是代表倍數概念)。
此外，任何的加減法都要先確認"1"單位的量是多少才能進行式子的合併。
我們都知道5+2=7，但是如果加了一些圖樣進去(例如：5A+2B)，此時就不能直接把5跟2相加，最明顯的例子就是：
5枚10元硬幣+2枚1元硬幣=7枚硬幣
(因為沒有顯示金額)
所以任何數字要合併都要有相同的基準量。
考慮1/2+1/3時，學生常犯的錯誤就是2/5(分子相加與分母相加)，但是當把圖示畫出來時：
1/2 ==〉 ■
1/3 ==〉 ■
會發現黑色佔的區域是不一樣的，所以無法直接合併，也就是分母不同代表大小塊不一樣，所以
要引入通分的概念，將分母變成一樣方能合併：
1/2+1/3=(1×3)/(2×3) +(1×2)/(3×2)
=3×(1/6)+2×(1/6)
=5×(1/6)
歸納：
分數相加時：
分母不同==》大小塊不一樣==》無法合併
透過通分==》把大小塊變成一樣
分母相同==》可以合併
補充：
當學生建議這部分的概念後，對於後續的未知數
合併運算，會有更有感覺!!
舉例來說：因為區塊大小不同，所以無法合併，延伸式子為2X+3Y，這已經是最後之結果，因為
X與Y算是區塊大小不一樣!!再如：□□□-□=□□
，如果以X代替□，則上式可以轉換為3X-X=2X，而非是學生誤算的3!!
此外，任何的加減法都要先確認"1"單位的量是多少才能進行式子的合併。
我們都知道5+2=7，但是如果加了一些圖樣進去(例如：5A+2B)，此時就不能直接把5跟2相加，最明顯的例子就是：
5枚10元硬幣+2枚1元硬幣=7枚硬幣
(因為沒有顯示金額)
所以任何數字要合併都要有相同的基準量。
考慮1/2+1/3時，學生常犯的錯誤就是2/5(分子相加與分母相加)，但是當把圖示畫出來時：
1/2 ==〉 ■
1/3 ==〉 ■
會發現黑色佔的區域是不一樣的，所以無法直接合併，也就是分母不同代表大小塊不一樣，所以
要引入通分的概念，將分母變成一樣方能合併：
1/2+1/3=(1×3)/(2×3) +(1×2)/(3×2)
=3×(1/6)+2×(1/6)
=5×(1/6)
歸納：
分數相加時：
分母不同==》大小塊不一樣==》無法合併
透過通分==》把大小塊變成一樣
分母相同==》可以合併
補充：
當學生建議這部分的概念後，對於後續的未知數
合併運算，會有更有感覺!!
舉例來說：因為區塊大小不同，所以無法合併，延伸式子為2X+3Y，這已經是最後之結果，因為
X與Y算是區塊大小不一樣!!再如：□□□-□=□□
，如果以X代替□，則上式可以轉換為3X-X=2X，而非是學生誤算的3!!
0為除數的迷思~~~
小學的數學曾經提過0不能當除數，可是卻沒有說過其原因，剛好在上分數的加減時，講述一下0為何不能當除數的原因。
我們都知道除法是乘法的反運算，舉例來說：
2×4=8 ==》2=8÷4
所以依照這方式：
1×0=0 ==》1=0÷0
2×0=0 ==》2=0÷0
......
？×0=0 ==》？=0÷0
會變成？可以是任何數，所以討論0÷0是無意義的，因為有太多答案!!!
但是當考慮以下的式子：
？×0=1==》會發現找不到滿足？的答案，
此時可以說？=1÷0是不存在的!!!
分數讀法的隱藏玄機~~~
但是到了國中，負號加入之後，就會產生-3 1/2該怎麼念呢?我以前是習慣念成"負三又二分之一"(這也是很多人的念法)，可是如果按照前面的敘述方式：負三又二分之一會變成 -3+1/2。
但是我們都知道-3 1/2=-3+1/2 這算式是錯誤的，在看完梅仙老師的學習單後，我開始省思這問題，結果發現梅仙老師說的"負的三又二分之一"，才是比較正確的念法：
負的三又二分之一 → – (3+1/2) = –3 –1/2，
也同時解釋了一個學生常產生的錯誤觀念：
–3 1/2= –3 – 1/2 ，而非是 –3 + 1/2!!
2018年11月14日 星期三
最小公倍數之短除法論述～～～
小學在教最小公倍數之求法時，直接利用了短除法的方式，可是如同我的學習過程當中，也沒思考過為何短除法可以求出最小公倍數，當看完ＣＡ教授的教法影片完，才恍然大悟，後來自己在思考如何能將這部分說給學生聽，又可以結合小學老師教過的方法，所以才得出了下面的教學過程：
１／２４＋１／３６的計算過程中，除了求２４與３６的Ｌ.Ｃ.Ｍ.外，小學老師會跟不會算Ｌ.Ｃ.Ｍ.的學生說，那就直接把２４與３６相乘當分母
，可是這樣的數通常都會太大，造成計算上的壓力，所以該如何變小呢（又要被２４與３６整除）？這時我跟學生提出的方法跟德州撲克玩法一樣（德州撲克是每個人會得到２張牌，此外在桌面會有３張公牌，每個人皆可利用手上的牌與桌上的公牌組合出最大的牌面）。
24×36 ＝＝〉24與36可被2分解
→2（公用）×12×18＝＝〉12與18可以被3分解
→2×3（公用）×4×6＝＝〉4與6可以被2分解
→2×3×2（公用）×2×3 ＝＝〉即為24與36的最小
公倍數
以上之過程不就是短除法求最小公倍數的過程了！！！
2 24 36
3 12 18
2 4 6
2 3
再舉一個例子：求6、9、12的L.C.M.
6×9×12一定是6、9、12的公倍數
6×9×12＝＝〉6、9、12可被3分解
→3（公用）×2×3×4＝＝〉2與4可以被2分解
→3×2（公用）×1×3×2＝＝即為6、9、12的最小
公倍數
其中3雖然不能被2分解，但是檢驗3×2×1×3×2依舊不影響可以被6、9、12整除，所以僅找出其中分解兩個數的數亦是可以讓公倍數縮小的合理方法
3 6 9 12
2 2 3 4
1 3 2
１／２４＋１／３６的計算過程中，除了求２４與３６的Ｌ.Ｃ.Ｍ.外，小學老師會跟不會算Ｌ.Ｃ.Ｍ.的學生說，那就直接把２４與３６相乘當分母
，可是這樣的數通常都會太大，造成計算上的壓力，所以該如何變小呢（又要被２４與３６整除）？這時我跟學生提出的方法跟德州撲克玩法一樣（德州撲克是每個人會得到２張牌，此外在桌面會有３張公牌，每個人皆可利用手上的牌與桌上的公牌組合出最大的牌面）。
24×36 ＝＝〉24與36可被2分解
→2（公用）×12×18＝＝〉12與18可以被3分解
→2×3（公用）×4×6＝＝〉4與6可以被2分解
→2×3×2（公用）×2×3 ＝＝〉即為24與36的最小
公倍數
以上之過程不就是短除法求最小公倍數的過程了！！！
2 24 36
3 12 18
2 4 6
2 3
再舉一個例子：求6、9、12的L.C.M.
6×9×12一定是6、9、12的公倍數
6×9×12＝＝〉6、9、12可被3分解
→3（公用）×2×3×4＝＝〉2與4可以被2分解
→3×2（公用）×1×3×2＝＝即為6、9、12的最小
公倍數
其中3雖然不能被2分解，但是檢驗3×2×1×3×2依舊不影響可以被6、9、12整除，所以僅找出其中分解兩個數的數亦是可以讓公倍數縮小的合理方法
3 6 9 12
2 2 3 4
1 3 2
2018年11月12日 星期一
利用標準分解式找最大公因數、最小公倍數~~~
課本介紹了標準分解式，可是為何要教授這部分，我是覺得為了過大的數字找最大公因數(縮寫為G.C.D.)時方便，以下介紹如何利用標準分解式找最大公因數。
在之前介紹40=1×40=2×20=4×10=5×8的分解概念時，因為40=2×2×2×5(徹底分解)，這時會發現
，40的所有因數都可以藉由標準分解式中的所有質因數(含指數)去組合出來，當學生建立起這概念後，帶出公因數的定義(C如果能夠同時將A與B分解，則稱C為A與B的公因數)及最大公因數的定義(公因數中最大的數)之後，就可以透過標準分解式
找最大公因數：
舉例：A=2^4×3^5×5、B=2^5×3^4×7
最大公因數為C，則C可以同時分解A、B
所以C可以由A與B的質因數去組合出來
所以C=2^?×3^?(因為要同時分解A與B)，
A中質因數2的部分最多可以取4個，但B中質因數2的部分最多可以取5個，所以僅能取4個，質因數
3的部分亦同上，所以僅能取4個
所以：C=2^4×3^4
可是為何公因數是最大公因數的因數呢?
最大公因數是多數整數中被分解的最大組合，公因數就是從最大組合中去挑出部分的數字組合
舉例來說：列出某班級所有學生的共同特性
全班的學號開頭、全班都是某一班號、全班的導師名字、都是新北市人等等，以上就是所謂的最大公因數的概念，但是從裡面列出部分共同特性不就是公因數的概念嗎?
那最小公倍數呢?其實就是相反的模式：
最小公倍數的定義：若A能同時被B與C分解，則稱A為B與C的最小公倍數(L.C.M.)
此時，A因為要被B跟C分解，所以B與C有的質因數(含指數)，A都必須要含括，
舉例來說：
例一：B=3×5、C=3×7
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(質因數)，也要有C的3跟7
(質因數)
所以A必須要有3、5、7，所以最小公倍數就是3×5×7
例二：B=3^2×5、C=3^4×7^2
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(3^2及5)，也要有C的3跟7
(3^4及7^2)
所以A必須要有3^4(內含3^2)、5、7^2，所以最小公倍數就是3^4×5×7^2!!
註：3^2表示3的2次方
在之前介紹40=1×40=2×20=4×10=5×8的分解概念時，因為40=2×2×2×5(徹底分解)，這時會發現
，40的所有因數都可以藉由標準分解式中的所有質因數(含指數)去組合出來，當學生建立起這概念後，帶出公因數的定義(C如果能夠同時將A與B分解，則稱C為A與B的公因數)及最大公因數的定義(公因數中最大的數)之後，就可以透過標準分解式
找最大公因數：
舉例：A=2^4×3^5×5、B=2^5×3^4×7
最大公因數為C，則C可以同時分解A、B
所以C可以由A與B的質因數去組合出來
所以C=2^?×3^?(因為要同時分解A與B)，
A中質因數2的部分最多可以取4個，但B中質因數2的部分最多可以取5個，所以僅能取4個，質因數
3的部分亦同上，所以僅能取4個
所以：C=2^4×3^4
可是為何公因數是最大公因數的因數呢?
最大公因數是多數整數中被分解的最大組合，公因數就是從最大組合中去挑出部分的數字組合
舉例來說：列出某班級所有學生的共同特性
全班的學號開頭、全班都是某一班號、全班的導師名字、都是新北市人等等，以上就是所謂的最大公因數的概念，但是從裡面列出部分共同特性不就是公因數的概念嗎?
那最小公倍數呢?其實就是相反的模式：
最小公倍數的定義：若A能同時被B與C分解，則稱A為B與C的最小公倍數(L.C.M.)
此時，A因為要被B跟C分解，所以B與C有的質因數(含指數)，A都必須要含括，
舉例來說：
例一：B=3×5、C=3×7
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(質因數)，也要有C的3跟7
(質因數)
所以A必須要有3、5、7，所以最小公倍數就是3×5×7
例二：B=3^2×5、C=3^4×7^2
因為A要被B、C分解
所以A必須要有B的3跟5(3^2及5)，也要有C的3跟7
(3^4及7^2)
所以A必須要有3^4(內含3^2)、5、7^2，所以最小公倍數就是3^4×5×7^2!!
註：3^2表示3的2次方
2018年11月9日 星期五
集合論概述~~~
在教完倍數判別法後，習作內出現同時出現2345□既為3的倍數且為2的倍數的題目，回想自己在這單元的國中數學學習歷程中，是直接請問6的倍數的判別方式，於是花了一節課講這部分的概念。
如果把有2的因數的數字用一個圓圈框起來，
那麼請問學生：
(1)9的位置應該落在哪?(圓圈外)
(2)12的位置應該落在哪?(圓圈內)
(3)8的位置應該落在哪?(圓圈內)
(4)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有6的因數
的圈圈應該畫在哪?
(5)如果比照有2的因數的圈圈概念，那有3的因數
的圈圈應該畫在哪?
此時會發現一件事：有6的因數的圈圈會同時落在
有2的因數的圈圈與有3的因數的圈圈的重疊部分
。
結論：如果要檢驗6的倍數，就要同時檢驗2的倍數與3的倍數。
最後劃出3個圈圈(有2的因數、3的因數、5的因數)
，試問：
(1)3個圈圈重疊部分指的是?(2的倍數、3的倍數、5的倍數)。
註：可以為公倍數埋伏筆!!
(2)有3的因數與5的因數的重疊處，但是扣除三個圈圈的重疊處所代表的意義為何?
(共同有3的因數與5的因數但扣除2的因數、3的倍數與5的因數三個的公倍數部分)。
2018年11月7日 星期三
倍數判別法的解析之11的倍數
今天講述了倍數判別法的最後一個部分---11的倍數，本以為學生應該很難進入設定的狀況，但是學生的反應比我想像中的理想，慢慢可以感覺到他們有開始在思考數學了!!!
判別27439651除以11的餘數為何?
20000000÷11......9 →發現2+9=11
7000000÷11......7 →發現餘數與開頭數字一樣
400000÷11......7 →發現4+7=11
30000÷11......3 →發現餘數與開頭數字一樣
9000÷11......2 →發現9+2=11
600÷11......6 →發現餘數與開頭數字一樣
50÷11......6 →發現5+6=11
1÷11......1 →發現餘數與開頭數字一樣
20÷3......2 →餘數為2，可以理解成不足1
如果餘數為2，記為 2，那麼不足1可以記為-1
利用這個概念，將上述之餘數處理一下：
20000000÷11......9 →餘9→不足2→-2
7000000÷11......7 →發現餘數與開頭數字一樣
400000÷11......7 →餘7→不足4→-4
30000÷11......3 →發現餘數與開頭數字一樣
9000÷11......2 →餘2→不足9→-9
600÷11......6 →發現餘數與開頭數字一樣
50÷11......6 →餘6→不足5→-5
1÷11......1 →發現餘數與開頭數字一樣
此時：餘數為(1+6+3+7)-(5+9+4+2)=-3→不足3
→餘8
此時就可以導出：27439651÷11的餘數判別方法了!!!
判別27439651除以11的餘數為何?
20000000÷11......9 →發現2+9=11
7000000÷11......7 →發現餘數與開頭數字一樣
400000÷11......7 →發現4+7=11
30000÷11......3 →發現餘數與開頭數字一樣
9000÷11......2 →發現9+2=11
600÷11......6 →發現餘數與開頭數字一樣
50÷11......6 →發現5+6=11
1÷11......1 →發現餘數與開頭數字一樣
20÷3......2 →餘數為2，可以理解成不足1
如果餘數為2，記為 2，那麼不足1可以記為-1
利用這個概念，將上述之餘數處理一下：
20000000÷11......9 →餘9→不足2→-2
7000000÷11......7 →發現餘數與開頭數字一樣
400000÷11......7 →餘7→不足4→-4
30000÷11......3 →發現餘數與開頭數字一樣
9000÷11......2 →餘2→不足9→-9
600÷11......6 →發現餘數與開頭數字一樣
50÷11......6 →餘6→不足5→-5
1÷11......1 →發現餘數與開頭數字一樣
此時：餘數為(1+6+3+7)-(5+9+4+2)=-3→不足3
→餘8
此時就可以導出：27439651÷11的餘數判別方法了!!!
2018年11月6日 星期二
倍數判別法的解析之2、4、8、5的倍數~~
4的倍數判別法教學流程：
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以4的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以4的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以4的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以4的餘數。
B、從上述之表格中，會發現百位數以上的餘數都是0，故僅需考慮十位數+個位數(也就是末兩位數)
→4的判別法為末兩位數可否被4整除。
舉例來說：
判別9652是否為4的倍數？
52÷4......0 所以9652必可以被4整除
8的倍數判別法教學流程：
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以8的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以8的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以8的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以8的餘數。
B、從上述之表格中，會發現千位數以上的餘數都是0，故僅需考慮百位數+十位數+個位數(也就是末三位數)
→8的判別法為末三位數可否被8整除。
舉例來說：
判別9652是否為8的倍數？
652÷8......4 所以9652可被8除 會餘4!!
2的倍數判別法教學流程：
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以2的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以2的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以2的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以2的餘數。
B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→2的判別法為末位數可否被2整除。
舉例來說：
判別9652是否為2的倍數？
2÷2......0 所以9652可被2整除!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、2、4、6、8
就可以被2整除
統整：A÷2→末位數能否被2整除
A÷4→末兩位數能否4整除
A÷8→末位數能否被8整除
..........
A÷2^n→末n位數能否被2^n整除
5的倍數判別法教學流程：
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以5的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以5的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以5的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以5的餘數。
B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→5的判別法為末位數可否被5整除。
舉例來說：
判別9652是否為5的倍數？
2÷5......2 所以9652可被5除,餘數為2!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、5
就可以被5整除
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以4的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以4的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以4的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以4的餘數。
B、從上述之表格中，會發現百位數以上的餘數都是0，故僅需考慮十位數+個位數(也就是末兩位數)
→4的判別法為末兩位數可否被4整除。
舉例來說：
判別9652是否為4的倍數？
52÷4......0 所以9652必可以被4整除
8的倍數判別法教學流程：
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以8的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以8的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以8的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以8的餘數。
B、從上述之表格中，會發現千位數以上的餘數都是0，故僅需考慮百位數+十位數+個位數(也就是末三位數)
→8的判別法為末三位數可否被8整除。
舉例來說：
判別9652是否為8的倍數？
652÷8......4 所以9652可被8除 會餘4!!
2的倍數判別法教學流程：
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以2的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以2的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以2的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以2的餘數。
B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→2的判別法為末位數可否被2整除。
舉例來說：
判別9652是否為2的倍數？
2÷2......0 所以9652可被2整除!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、2、4、6、8
就可以被2整除
統整：A÷2→末位數能否被2整除
A÷4→末兩位數能否4整除
A÷8→末位數能否被8整除
..........
A÷2^n→末n位數能否被2^n整除
5的倍數判別法教學流程：
A、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以5的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以5的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以5的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以5的餘數。
B、從上述之表格中，會發現十位數以上的餘數都是0，故僅需考慮個位數(也就是末位數)
→5的判別法為末位數可否被5整除。
舉例來說：
判別9652是否為5的倍數？
2÷5......2 所以9652可被5除,餘數為2!!
註：一般的課本的判別法都是寫成個位數是0、5
就可以被5整除
2018年11月5日 星期一
倍數判別法之3的倍數分析~~
教學流程：
A、一開始用分東西的概念來建立學生的印象(一副不知張數的撲克牌平均分給3位同學，其分法可以一位同學一張一張發，最後剩幾張就是餘數，也可以將整副撲克牌分成兩堆給兩位同學同時分，最後將剩餘張數加總，看夠不夠再分，這時帶出剩4張跟剩1張的狀況是一樣的(針對餘數的概念而言))。
B、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以3的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以3的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以3的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以3的餘數。
舉例來說：
判別9651是否為3的倍數？
9651=9000+600+50+1(分為千位、百位、十位及個位)
9000除以3......0(相當於餘9)
600除以3......0(相當於餘6)
50除以3......2(相當於餘5)
1除以3......1
此時餘數總和為9+6+5+1，再除以3，最後得出餘數為0
所以：9651除以3......0
所以表格之規則為：
ABCD÷3....?
A000÷3...A
B00÷3...B
C0÷3...C
D÷3...D
所以ABCD除以3的餘數為(A+B+C+D+)除以3的餘數
以上不就是3的倍數的判別方式嗎?(各數字總和是否為3的倍數)
倍數判別法的教學解析--9的倍數~~~
在9月中桃園夢N中聽到對於倍數判別法(2、5、3、9、4、11等)的另一種呈現方式，在內心裡就打定主意這次的上課方式要來嘗試這種上法，當講師問說哪一種的判別法應該是要先呈現的，大家所有的想法應該都會是2的判別法，結果答案公布：9的倍數→3的倍數→4的倍數→8的倍數→2的倍數→5的倍數→11的倍數!!這讓我更有勇氣去挑戰看看!!
回到學校後，將這資料分享給校內共備的夥伴，也製作了相關簡報資料，就這樣開始上課了。
教學流程：
A、一開始用分東西的概念來建立學生的印象(一副不知張數的撲克牌平均分給3位同學，其分法可以一位同學一張一張發，最後剩幾張就是餘數，也可以將整副撲克牌分成兩堆給兩位同學同時分，最後將剩餘張數加總，看夠不夠再分，這時帶出剩4張跟剩1張的狀況是一樣的(針對餘數的概念而言))。
B、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以9的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以9的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以9的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以9的餘數。
(其中除數可以換成3、4、8、2、5、11)觀察餘數的規律：
舉例來說：
判別9651是否為9的倍數？
9651=9000+600+50+1(分為千位、百位、十位及個位)
9000除以9......0(相當於餘9)
600除以9......6
50除以9......5
1除以9......1
此時餘數總和為9+6+5+1，再除以9，最後得出餘數為3
所以：9651除以9......3
所以表格之規則為：A000...0除以9之餘數為A
所以ABCD...除以9的餘數為(A+B+C+D+...)除以9的餘數
以上不就是9的倍數的判別方式嗎?(各數字總和是否為9的倍數)
其餘的倍數判別法，基本上就是按照這模式去得出，就不需要學生去死背公式!!但11的倍數的判別法比較有挑戰性，需要用餘數與不足去呈現，餘數如果為正數，那不足就是標記為負數!!!
當我講完4、8、2、5的倍數判別法後，學生突然說：那16、25也是一樣的規則模式啊!!這時的我其實感覺蠻好的，因為學生已經可以舉一反三了(其實講完4、8的判別法，後面的2跟5就自然而然出現了)，其中2的判別法我們都是跟學生講個位數字是0、2、4、6、8，5的判別法是個位數字0或5，但是我覺得應該跟學生講說2及5的判別法就是看個位數字能否被2、5整除。借用英文老師跟我說的一句話，我們要看的是未來，今年新帶的一屆，自己的教法永遠在下載更新之，雖然有進度的壓力，但是學生給我的正能量(學生自述：小學教的數學他真的聽不懂，但是國中部分都聽得懂)讓我更堅信要持續努力讓學生能更具體化的學數學，而不是背數學!!!
回到學校後，將這資料分享給校內共備的夥伴，也製作了相關簡報資料，就這樣開始上課了。
教學流程：
A、一開始用分東西的概念來建立學生的印象(一副不知張數的撲克牌平均分給3位同學，其分法可以一位同學一張一張發，最後剩幾張就是餘數，也可以將整副撲克牌分成兩堆給兩位同學同時分，最後將剩餘張數加總，看夠不夠再分，這時帶出剩4張跟剩1張的狀況是一樣的(針對餘數的概念而言))。
B、請學生先完成表格：
(1)1、2、3、......、9 除以9的餘數。
(2)10、20、30、......、90 除以9的餘數。
(3)100、200、300、......、900除以9的餘數。
(4)1000、2000、3000、......、9000 除以9的餘數。
(其中除數可以換成3、4、8、2、5、11)觀察餘數的規律：
舉例來說：
判別9651是否為9的倍數？
9651=9000+600+50+1(分為千位、百位、十位及個位)
9000除以9......0(相當於餘9)
600除以9......6
50除以9......5
1除以9......1
此時餘數總和為9+6+5+1，再除以9，最後得出餘數為3
所以：9651除以9......3
所以表格之規則為：A000...0除以9之餘數為A
所以ABCD...除以9的餘數為(A+B+C+D+...)除以9的餘數
以上不就是9的倍數的判別方式嗎?(各數字總和是否為9的倍數)
其餘的倍數判別法，基本上就是按照這模式去得出，就不需要學生去死背公式!!但11的倍數的判別法比較有挑戰性，需要用餘數與不足去呈現，餘數如果為正數，那不足就是標記為負數!!!
當我講完4、8、2、5的倍數判別法後，學生突然說：那16、25也是一樣的規則模式啊!!這時的我其實感覺蠻好的，因為學生已經可以舉一反三了(其實講完4、8的判別法，後面的2跟5就自然而然出現了)，其中2的判別法我們都是跟學生講個位數字是0、2、4、6、8，5的判別法是個位數字0或5，但是我覺得應該跟學生講說2及5的判別法就是看個位數字能否被2、5整除。借用英文老師跟我說的一句話，我們要看的是未來，今年新帶的一屆，自己的教法永遠在下載更新之，雖然有進度的壓力，但是學生給我的正能量(學生自述：小學教的數學他真的聽不懂，但是國中部分都聽得懂)讓我更堅信要持續努力讓學生能更具體化的學數學，而不是背數學!!!
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