二元一次式的合併

        本章節是進入七下二元一次方程式的單元。
        首先利用一個小魔術來引起學生的學習動機(感謝惠冠老師的提供)，學生完全不知道是如何找出抽到的撲克牌號碼。(拋出問題：如果加入J、Q、K，該如何處理)

       
    解釋二元一次方程式的意義!!其實根據CA的講法，解釋這部分是無意義的，因為當每次教到這裡時，最難解式的就是一次的意義!!
二    元→包含兩個未知數，通常為X、Y
一    次→未知數的最高次數，但未知數不能互乘
方程式→含有關係符號(指的是＝、＞、＜)的未知數式子

        複習上學期教的未知數的概念以及數字的意義。利用符號來表示未知數及數字的合併。此時
慢慢建立"同類項才能合併"的概念

一元一次方程式之應用問題~~

應用問題對學生來說是一個大挑戰，其中難的部
分不是解方程式，而是理解題目想要表達的意義
，如何將題目中的不知道項目設為未知數X，再利
用未知數X將方程式列出。
這次的教學做了一次挑戰，在應用問題利用方程
式解法之前，試著讓學生將題目利用圖解方式表
達，進而求出其中的答案，這部分讓學生有很大
的挑戰，學生開始慢慢會去思考題目想表達的意
義，最後圖解方式完成之後，後續的利用方程式
解題就沒想像中的困難了。此外，利用了一次下午時間去進行了記萱老師的觀課，學到了如何利用心智圖處理應用問題的分析，於是做了下方的簡報，希望讓學生能更了解應用問題的核心。

一元一次方程式之綜合題目~~

A、利用以下之例子來說明：
□□□+5=20
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
□=(20-5)÷3
換句話說，解題的大原則為：
□保持在左邊，將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
再當把□轉成x時，則整個過程為：
3x+5=20
3x=20-5=15  (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=15÷3=5     (左邊的×3消失，右邊出現了÷3)
換句話說，解題的大原則為：
將原來的x保持在左邊，
再將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
B、利用以下之例子來說明：
□□□□□+5=□□□+19
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
左右各消去3個□，變成：
□□+5=19
然後：
□=(19-5)÷2
換句話說，解題的大原則為：
等式兩邊的□互相消去只剩下左邊的2個□，
再將等式左右兩邊的5、19移動成在右邊的14
當把□轉成x時，則整個過程為：
5x+5=3x+19
5x-3x+5=+19  (右邊的3x消失，左邊出現了-3x)
2x+5=+19     
2x=+19-5=14 (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=14÷2=7(左邊的×2消失，右邊出現了÷2)
這部分造成學生很大的困擾：
困擾一：仍是x這符號造成的困惑
困擾二：因為兩邊都有x，所以不知道該如何處理
提供一個小訣竅：
因為是要解出x=?，所以最後得到的式子一定為：
△x=●
所以可以直接將所有的x都弄到等式的左邊，剩下的已知數都弄到等式的右邊，就能得到最後的x值了。
C、分式方程式的處理：
其實這部分讓我困擾很久，一直在想如何讓學生有個比較好感覺的解釋方式，不直接利用等量乘法公理的原因是學生會很濫用同乘的方法，舉例來說：
(x－3)/2 －(2x－1)/3   (學生會直接"×6")
=3(x－3)－2(2x－1)  
就會造成計算過程的誤解了。

我讓學生先寫一下：(x-3)/5 －(x-2)/3=1
學生通常直接通分：3(x-3)/15 －5(x-2)/15 =1
(-2x+1)/15=1  (學生就卡住了)
此時，我會問學生卡住的原因是為何。
如果把15消除呢，該怎麼處理?
學生就知道右邊要×15了，因為消除的15是÷15
另外，我會提供另一個想法：
(-2x+1)/15=1=15/15
此時問到：如果兩個分數相同而且分母也相同，
會得到何種結果?
慢慢引導學生得出分子也相同的概念，則就會：
(-2x+1)=15
寫到這裡，真的發現：以往在教方程式的解法
時，從來沒去想過學生會遇到的困難，總覺得
這應該很簡單，此次當從學生的角度去思考時，
才發現這麼多的問題，雖然走得很辛苦，但是希
望是值得的。
希望學生不是為了解方程式而硬背下移項法則，
及濫用等量乘除法公理的概念。

一元一次方程式之乘除法~~

利用以下之例子來說明乘法的處理方式：
    □×3=15
→□=15÷3
當左式的×3消失時，右邊會出現÷3的動作
基本上，上述的方式，學生可以很快的得知結果
再將□轉成x時，就會得到：
    3x=15
→x=15÷3 
可是：學生對於x的認識仍有所恐懼。所以，這部分需要慢慢熟悉之。

利用以下之例子來說明乘法的處理方式：
    □÷3=15
→□=15×3
當左式的÷3消失時，右邊會出現×3的動作
基本上，上述的方式，學生可以很快的得知結果
再將□轉成x時，就會得到：
    x÷3=15  (x÷3=x/3=1/3 x)
→x=15×3 
可是：學生對於x的認識仍有所恐懼。所以，這部分需要慢慢熟悉之。
另外，上面的算式通常會變成：
    1/3 x=15
→x=15÷1/3

一元一次方程式之加減法處理~~

        每次開始這單元時，都是在介紹等量公理，
然後就簡化成移項法則，可是學生對於等量公理
只是依樣畫葫蘆，美其名只是在抄襲，到後面的
移項法則就類似像背公式一樣，照著老師的講法
在解題，但是本次的一元一次方程式參考了CA
教授及梅仙老師的影片、學習單，讓學生先從填
空格開始下手，因為發現學生對於填空格的能力
很強，會想嘗試去知道到底該填多少才能符合等
式，從學生的思考當中慢慢去得到想要的答案。

學生對於這部分都可以輕鬆完成，於是乎可以開始進行下一步驟之引導：

□+100=500→□=500-100

左邊的+100消失了，右邊的-100出現了

這不就是等量公理嗎？

這時候再來解釋等量公理會比較更有感!!

□-30=500→□=500+30

左邊的-30消失了，右邊的+30出現了

這不就是等量公理嗎？

這時候再來解釋等量公理會比較更有感!!

利用小學簡單的算式來解釋上列的現象會更清

楚。

如果要將□+3=5中的□+3還原成□，就是直接-3，那麼右邊就是跟著-3!!

如果要將□-3=2中的□-3還原成□，就是直接+3，那麼右邊就是跟著+3!!

先讓學生慢慢建立這習慣，對於後面的方程式的解法(移項法則)就會有水到渠成的效果。

未知數之拆括號~~

        每次教到這邊時，都是惡夢的開始，因為學生常因為分配律的問題而搞錯、或者是忘記變號，於是經過一整晚的沉思後，設計了這份簡報。
         因為學生對於圖像會有強烈的印象，再加上前面分數加減乘除對於長條形的熟悉度，於是直接將未知數轉成圖像，然後利用數字乘法為複製倍數的概念、"負號"為相反的概念，將拆括號的練習逐步拆解成圖像，學生基本上都可以聽懂這部分，甚至對於-2x+5+7x-9的計算也可以馬上上手
。
舉例來說：
-2x+5+7x-9→  (-2x)     (+5)  (+7x)   (-9)  
學生會自動將A、(-2x)、(+7x)合併為(+5x)
                        B、(+5)、(-9) 合併為-4
最後再將A與B合併為5x-4

拆括號部分：
直接參閱簡報之內容，逐步圖像拆解。

未知數符號的置入~~

總算進入到未知數的世界了，以前在將未知數X置入時，其實對於學生來講應該有點難度，因為非常的抽象，但是這次因為有前面分數加減乘除的鋪路，使得未知數X得出現可以變得理所當然，因為要將分數加減中的長方形替換掉，就換成了X的呈現方式，也更容易讓學生不會出現以往常出現的錯誤計算：
2X-X=2(錯誤，因為學生誤以為把X消除了，類似1 2/3 - 2/3=1的模式)

在下面的簡報中，學生也更容易建立不同符號是無法直接合併的概念。

下面的簡報就是未知數符號X的轉換了!!