秤人之危之解法流程及轉換數學關係式流程(6-9題)

6、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●●●.........(1)                     

                ■●●●=24.......(2)

                 將第2式中的●●●替換成■■

                 則：■■■=24

                 所以：■=8、●=16/3

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=3Y..........(1)

                   X+3Y=24.....(2)

                   將第2式中的3Y替換成2X

               →X+2X=24

               →X=8、Y=16/3

 7、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●●●+2.........(1)                     

                ■■●=18..............(2)

                 將第2式中的■■替換成●●●+2

                 則：●●●+2+●=18

                 所以：●=4、■=7

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=3Y+2.........(1)

                  2X+Y=18..........(2)

                  將第2式中的2X替換成3Y+2

               →3Y+2+Y=18

               →Y=4、X=7

 8、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●●+6.........(1)                     

                ■●=21..............(2)

               將第1式中等號的兩邊各減半：

               →■=●+3...........(3) 

            將第2式中的■替換成●+3

                 則：●+3+●=21

                 所以：●=9、■=12

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=2Y+6.........(1)

                  X+Y=21..........(2)

                  將第1式中等號的兩邊各÷2：

                  X=Y+3

                  將第2式中的X替換成Y+3

                  →Y+3+Y=21

                  →Y=9、X=12

9、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■■=●+6.........(1)                     

                ■●+6=36.........(2)

                 將第2式中的●+6替換成■■■

                 則：■■■■=36

                 所以：■=9、●=21

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →3X=Y+6.........(1)

                  X+Y+6=36.. ..(2)

                  將第2式中的Y+6替換成3X

               →X+3X=36

               →X=9、Y=21

秤人之危之解法流程及轉換數學關係式流程(1-5題)

1、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■=●●.........(1)                     

                ■+●=12.....(2)

                 將第2式中的■替換成●●

                 則：●●●=12

                 所以：●=4、■=8

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →X=2Y.........(1)

                   X+Y=12.....(2)

                   將第2式中的X替換成2Y

               →2Y+Y=12

               →Y=4、X=8

2、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■=●+2.........(1)                     

                ■+●=8.........(2)

                 將第2式中的■替換成●+2

                 則：●+2+●=8

                 所以：●=3、■=5

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →X=Y+2.........(1)

                   X+Y=8.........(2)

                   將第2式中的X替換成Y+2

               →Y+2+Y=8

               →Y=3、X=5

3、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■+7=●.........(1)                     

                ■+●=15.......(2)

                 將第2式中的●替換成■+7

                 則：■+■+7=15

                 所以：■=4、●=11

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →X+7=Y.........(1)

                   X+Y=15.........(2)

                   將第2式中的Y替換成X+7

               →X+X+7=15

               →X=4、Y=11

4、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●...........(1)                     

                ■■●=12.......(2)

                 將第2式中的●替換成■■

                 則：■■■■=12

                 所以：■=3、●=6

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=Y.........(1)

                   2X+Y=12.........(2)

                   將第2式中的Y替換成2X

               →2X+2X=12

               →X=3、Y=6

5、從題目中，可得知：

   (圖解)   ■■=●+6...........(1)                     

                ■■●=20.......(2)

                 將第2式中的■■替換成●+6

                 則：●+6+●=20

                 所以：●=7、■=6.5

      (算式)用X呈現■之重量、用Y呈現●之重量

               →2X=Y+6.........(1)

                   2X+Y=20.........(2)

                   將第2式中的2X替換成Y+6

               →Y+6+Y=20

               →Y=7、X=6.5

秤人之危(代入消去法)

活動名稱：秤人之危

適用單元：代入消去法

活動器材：學習單
關鍵字：代入、二元一次方程式
與教學內容關聯性：★★★★★ 
趣味性：★★★ ★
操作難度：★★ 
遊戲可套用性：★★
推薦度：★★★★ 

構想來源：慶鴻老師之設計(數學一點也不無聊)

使用時間：寫學習單大約20-25分鐘，上台講解
                    及轉換用方程組大約2節課。

教學流程：

發下學習單，利用20-25分鐘完成，再抽籤找組別上來解說每一題之解法。

教學心得：

學生一開始時，部分學生因為在補習班都學過代入消去法，所以學生都在努力解X跟Y的答案，但是上台解說時，卻沒有使用任何之未知數符號，而是直接用題目的符號(框框、圓圈)來找出答案，另外在整個上台講解過程中，它們已經不自覺的使用了代入置換的概念，將本來兩個物品的重量都轉成只剩下一個物品，然後就找出最後之重量。

這份學習單對於後半段不會有太大壓力，最大的壓力應該是上台講解的過程，因為沒有這習慣，所以會有害羞的狀態發生，這是我努力要去讓學生敢於表現自己，讓學生不再扭扭捏捏。

方程式如何找解及其意義

以往的我在講二元一次方程式的解的時候，都是直接直述法的講述，可是往往後半段的學生都無法明白我的內容。於是在今年時，在講解這部分時，先加入撲克牌操作的方式：

   A、■+■=7 
 (其中■、■各為兩張不知道點數的撲克牌)
此時請學生找出■、■的點數各自為何？
              ■ + ■ = 7
              6     1
              5     2
              4     3
              3     4
              2     5
              1     6
此時，再將■+■=7中的■、■各自以X、Y的符號呈現(X為■的點數、Y為■的點數)
則上述的式子就會變成X+Y=7
此時學生所找出來的點數皆滿足上述例子，如果用圖表來顯示，就會變成：
Y：1  2  3  4  5  6
X：6  5  4  3  2  1
其中X+Y=7 可視為限制條件(限制X與Y的關係，即為方程式)
滿足的X、Y點數為符合限制條件的對象(即為解)
此時詢問學生：
那X=7、Y=8可否滿足？
答案是NO，因為不符合限制條件

B、■■+■=10  
(其中■、■各為兩張不知道點數的撲克牌)
此時請學生找出■、■的點數各自為何？
              ■■+■=13
              1 1  11
              2 2  9
              3 3  7
              4 4  5
              5 5  3
              6 6  1
此時，再將■■+■=13中的■、■各自以X、Y的符號呈現(X為■的點數、Y為■的點數)
則上述的式子就會變成2X+Y=13
此時學生所找出來的點數皆滿足上述例子，如果用圖表來顯示，就會變成：
Y：11  9  7  5  3  1
X：1   2  3  4   5  6
其中X+Y=10 可視為限制條件(限制X與Y的關係)
滿足的X、Y點數為符合限制條件的對象(即為解)

到此發現學生比較能接受二元一次方程式解的概念!!

二元一次式的合併

        本章節是進入七下二元一次方程式的單元。
        首先利用一個小魔術來引起學生的學習動機(感謝惠冠老師的提供)，學生完全不知道是如何找出抽到的撲克牌號碼。(拋出問題：如果加入J、Q、K，該如何處理)

       
    解釋二元一次方程式的意義!!其實根據CA的講法，解釋這部分是無意義的，因為當每次教到這裡時，最難解式的就是一次的意義!!
二    元→包含兩個未知數，通常為X、Y
一    次→未知數的最高次數，但未知數不能互乘
方程式→含有關係符號(指的是＝、＞、＜)的未知數式子

        複習上學期教的未知數的概念以及數字的意義。利用符號來表示未知數及數字的合併。此時
慢慢建立"同類項才能合併"的概念

一元一次方程式之應用問題~~

應用問題對學生來說是一個大挑戰，其中難的部
分不是解方程式，而是理解題目想要表達的意義
，如何將題目中的不知道項目設為未知數X，再利
用未知數X將方程式列出。
這次的教學做了一次挑戰，在應用問題利用方程
式解法之前，試著讓學生將題目利用圖解方式表
達，進而求出其中的答案，這部分讓學生有很大
的挑戰，學生開始慢慢會去思考題目想表達的意
義，最後圖解方式完成之後，後續的利用方程式
解題就沒想像中的困難了。此外，利用了一次下午時間去進行了記萱老師的觀課，學到了如何利用心智圖處理應用問題的分析，於是做了下方的簡報，希望讓學生能更了解應用問題的核心。

一元一次方程式之綜合題目~~

A、利用以下之例子來說明：
□□□+5=20
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
□=(20-5)÷3
換句話說，解題的大原則為：
□保持在左邊，將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
再當把□轉成x時，則整個過程為：
3x+5=20
3x=20-5=15  (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=15÷3=5     (左邊的×3消失，右邊出現了÷3)
換句話說，解題的大原則為：
將原來的x保持在左邊，
再將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
B、利用以下之例子來說明：
□□□□□+5=□□□+19
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
左右各消去3個□，變成：
□□+5=19
然後：
□=(19-5)÷2
換句話說，解題的大原則為：
等式兩邊的□互相消去只剩下左邊的2個□，
再將等式左右兩邊的5、19移動成在右邊的14
當把□轉成x時，則整個過程為：
5x+5=3x+19
5x-3x+5=+19  (右邊的3x消失，左邊出現了-3x)
2x+5=+19     
2x=+19-5=14 (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=14÷2=7(左邊的×2消失，右邊出現了÷2)
這部分造成學生很大的困擾：
困擾一：仍是x這符號造成的困惑
困擾二：因為兩邊都有x，所以不知道該如何處理
提供一個小訣竅：
因為是要解出x=?，所以最後得到的式子一定為：
△x=●
所以可以直接將所有的x都弄到等式的左邊，剩下的已知數都弄到等式的右邊，就能得到最後的x值了。
C、分式方程式的處理：
其實這部分讓我困擾很久，一直在想如何讓學生有個比較好感覺的解釋方式，不直接利用等量乘法公理的原因是學生會很濫用同乘的方法，舉例來說：
(x－3)/2 －(2x－1)/3   (學生會直接"×6")
=3(x－3)－2(2x－1)  
就會造成計算過程的誤解了。

我讓學生先寫一下：(x-3)/5 －(x-2)/3=1
學生通常直接通分：3(x-3)/15 －5(x-2)/15 =1
(-2x+1)/15=1  (學生就卡住了)
此時，我會問學生卡住的原因是為何。
如果把15消除呢，該怎麼處理?
學生就知道右邊要×15了，因為消除的15是÷15
另外，我會提供另一個想法：
(-2x+1)/15=1=15/15
此時問到：如果兩個分數相同而且分母也相同，
會得到何種結果?
慢慢引導學生得出分子也相同的概念，則就會：
(-2x+1)=15
寫到這裡，真的發現：以往在教方程式的解法
時，從來沒去想過學生會遇到的困難，總覺得
這應該很簡單，此次當從學生的角度去思考時，
才發現這麼多的問題，雖然走得很辛苦，但是希
望是值得的。
希望學生不是為了解方程式而硬背下移項法則，
及濫用等量乘除法公理的概念。