一元一次方程式之綜合題目~~

A、利用以下之例子來說明：
□□□+5=20
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
□=(20-5)÷3
換句話說，解題的大原則為：
□保持在左邊，將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
再當把□轉成x時，則整個過程為：
3x+5=20
3x=20-5=15  (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=15÷3=5     (左邊的×3消失，右邊出現了÷3)
換句話說，解題的大原則為：
將原來的x保持在左邊，
再將左右兩邊的5、20移動成只出現在右邊的15
B、利用以下之例子來說明：
□□□□□+5=□□□+19
當學生看到上述之例子時，一定會知道：
左右各消去3個□，變成：
□□+5=19
然後：
□=(19-5)÷2
換句話說，解題的大原則為：
等式兩邊的□互相消去只剩下左邊的2個□，
再將等式左右兩邊的5、19移動成在右邊的14
當把□轉成x時，則整個過程為：
5x+5=3x+19
5x-3x+5=+19  (右邊的3x消失，左邊出現了-3x)
2x+5=+19     
2x=+19-5=14 (左邊的+5消失，右邊出現了-5)
x=14÷2=7(左邊的×2消失，右邊出現了÷2)
這部分造成學生很大的困擾：
困擾一：仍是x這符號造成的困惑
困擾二：因為兩邊都有x，所以不知道該如何處理
提供一個小訣竅：
因為是要解出x=?，所以最後得到的式子一定為：
△x=●
所以可以直接將所有的x都弄到等式的左邊，剩下的已知數都弄到等式的右邊，就能得到最後的x值了。
C、分式方程式的處理：
其實這部分讓我困擾很久，一直在想如何讓學生有個比較好感覺的解釋方式，不直接利用等量乘法公理的原因是學生會很濫用同乘的方法，舉例來說：
(x－3)/2 －(2x－1)/3   (學生會直接"×6")
=3(x－3)－2(2x－1)  
就會造成計算過程的誤解了。

我讓學生先寫一下：(x-3)/5 －(x-2)/3=1
學生通常直接通分：3(x-3)/15 －5(x-2)/15 =1
(-2x+1)/15=1  (學生就卡住了)
此時，我會問學生卡住的原因是為何。
如果把15消除呢，該怎麼處理?
學生就知道右邊要×15了，因為消除的15是÷15
另外，我會提供另一個想法：
(-2x+1)/15=1=15/15
此時問到：如果兩個分數相同而且分母也相同，
會得到何種結果?
慢慢引導學生得出分子也相同的概念，則就會：
(-2x+1)=15
寫到這裡，真的發現：以往在教方程式的解法
時，從來沒去想過學生會遇到的困難，總覺得
這應該很簡單，此次當從學生的角度去思考時，
才發現這麼多的問題，雖然走得很辛苦，但是希
望是值得的。
希望學生不是為了解方程式而硬背下移項法則，
及濫用等量乘除法公理的概念。

一元一次方程式之乘除法~~

利用以下之例子來說明乘法的處理方式：
    □×3=15
→□=15÷3
當左式的×3消失時，右邊會出現÷3的動作
基本上，上述的方式，學生可以很快的得知結果
再將□轉成x時，就會得到：
    3x=15
→x=15÷3 
可是：學生對於x的認識仍有所恐懼。所以，這部分需要慢慢熟悉之。

利用以下之例子來說明乘法的處理方式：
    □÷3=15
→□=15×3
當左式的÷3消失時，右邊會出現×3的動作
基本上，上述的方式，學生可以很快的得知結果
再將□轉成x時，就會得到：
    x÷3=15  (x÷3=x/3=1/3 x)
→x=15×3 
可是：學生對於x的認識仍有所恐懼。所以，這部分需要慢慢熟悉之。
另外，上面的算式通常會變成：
    1/3 x=15
→x=15÷1/3

一元一次方程式之加減法處理~~

        每次開始這單元時，都是在介紹等量公理，
然後就簡化成移項法則，可是學生對於等量公理
只是依樣畫葫蘆，美其名只是在抄襲，到後面的
移項法則就類似像背公式一樣，照著老師的講法
在解題，但是本次的一元一次方程式參考了CA
教授及梅仙老師的影片、學習單，讓學生先從填
空格開始下手，因為發現學生對於填空格的能力
很強，會想嘗試去知道到底該填多少才能符合等
式，從學生的思考當中慢慢去得到想要的答案。

學生對於這部分都可以輕鬆完成，於是乎可以開始進行下一步驟之引導：

□+100=500→□=500-100

左邊的+100消失了，右邊的-100出現了

這不就是等量公理嗎？

這時候再來解釋等量公理會比較更有感!!

□-30=500→□=500+30

左邊的-30消失了，右邊的+30出現了

這不就是等量公理嗎？

這時候再來解釋等量公理會比較更有感!!

利用小學簡單的算式來解釋上列的現象會更清

楚。

如果要將□+3=5中的□+3還原成□，就是直接-3，那麼右邊就是跟著-3!!

如果要將□-3=2中的□-3還原成□，就是直接+3，那麼右邊就是跟著+3!!

先讓學生慢慢建立這習慣，對於後面的方程式的解法(移項法則)就會有水到渠成的效果。

未知數之拆括號~~

        每次教到這邊時，都是惡夢的開始，因為學生常因為分配律的問題而搞錯、或者是忘記變號，於是經過一整晚的沉思後，設計了這份簡報。
         因為學生對於圖像會有強烈的印象，再加上前面分數加減乘除對於長條形的熟悉度，於是直接將未知數轉成圖像，然後利用數字乘法為複製倍數的概念、"負號"為相反的概念，將拆括號的練習逐步拆解成圖像，學生基本上都可以聽懂這部分，甚至對於-2x+5+7x-9的計算也可以馬上上手
。
舉例來說：
-2x+5+7x-9→  (-2x)     (+5)  (+7x)   (-9)  
學生會自動將A、(-2x)、(+7x)合併為(+5x)
                        B、(+5)、(-9) 合併為-4
最後再將A與B合併為5x-4

拆括號部分：
直接參閱簡報之內容，逐步圖像拆解。

未知數符號的置入~~

總算進入到未知數的世界了，以前在將未知數X置入時，其實對於學生來講應該有點難度，因為非常的抽象，但是這次因為有前面分數加減乘除的鋪路，使得未知數X得出現可以變得理所當然，因為要將分數加減中的長方形替換掉，就換成了X的呈現方式，也更容易讓學生不會出現以往常出現的錯誤計算：
2X-X=2(錯誤，因為學生誤以為把X消除了，類似1 2/3 - 2/3=1的模式)

在下面的簡報中，學生也更容易建立不同符號是無法直接合併的概念。

下面的簡報就是未知數符號X的轉換了!!

未知數的概念~~

        以往在上一元一次方程式的時候，都是直接進入題目的導讀，但是這次卻是利用梅仙學姊的學習單讓學生先完成，並找出缺乏的條件以及題目間的關係式，在一節課的時間讓學生回答缺少條件及關係，學生皆能踴躍搶答答案，希望能讓後來的未知數X導入時，能有更好的先備知識。

        將關係式中的缺少條件轉換成未知數X時，則用未知數代表另一個未知數的概念不就建立起來了嗎??甚至在最後一頁中，何者為未知數、何者為已知數不就是顯而易見了嗎?

 

分數的除法意義

這節課一開始就問學生10除以2的意義為何？學生的答案幾乎都是將10分成兩份，每一份的數目為5
，當繼續問說還有其他解釋方法時，學生就都卡住了，只有很少部分的人會想到將10個物品分成每兩個物品一堆時，共可以分成5堆的想法。

這時候送上小學的一題除法題目，這題在國中的段考也常出現(習作也有)，學生常會有錯誤答案
：

學生的答案通常為4瓶，剩下1/2公升，此時我問學生說，你們不會覺得奇怪嗎?前面的4單位是瓶，後者的1/2單位卻是公升，合理嗎?學生這時才會發現錯誤，此時的4又1/2指的是4又1/2瓶的2/3公升，所以會剩下1/2瓶的2/3公升。
這時候緊接著鋪下一個脈絡，如果將1張千元鈔票
與2張百元鈔票，以2張百元鈔票分一堆時，答案會是1.5堆嗎？(因為總共3張鈔票分成2張一堆)學生都知道這樣的計算方式是錯的，正確是要將千元鈔票換成10張百元鈔票，再將12張百元鈔票分成6堆的兩張百元鈔票，此時要引導的概念是要分堆，一定要用相同單位才能分堆。

此時開始進入分數的除法原理推導：
10/3÷3/2=(10×2/3×2)÷(3×3/2×3)
=(10×2)個(1/3×2)÷(3×3)個(1/3×2)
=(10×2)÷(3×3)
=(10×2)/(3×3)
=10/3×2/3
所以除以3/2就相當於乘以2/3，這不就是倒數的概念了嗎？

分數乘法的意義~~~

當課本提到兩分數的乘法時，只告知其方法為：分子相乘/分母相乘---小學已教過，可是當我問學生時，他們回答說就是這樣算，問到為何時，卻答不出來，這好像是目前數學的最大盲點：為了計算而計算或為了考試而考試。於是努力做足功課，參考CA教授的教學影片，設計了一連串的簡報。
數字的意義是為何？我竟然無法回答這問題，其實答案很簡單，就是倍數概念。×3可以想成複製
某物為3倍，÷3可以想成分割某物成3份取其一份，當把A×3時，會變成AAA，反之，AAA÷3時會得出A，此外也可以將A視為AAA的1/3，所以
÷3跟×1/3效果是一樣的。

於是可以利用上面的概念講述：將□乘以1/3再乘以1/2，就會將原來的□分割成6份取其一份。

如果將□乘以7/5時，其中分母的5是將其分割成5份取其一份，分子的7是將前列的分割後的狀態再複製成7份。

按照上述之模式，則兩分數的相乘之過程就會如下方之照片呈現。

於是，課本敘述的分數乘法方式就自然而然出現了。