直線方程式的求法

直線方程式的求法在以往都是先假設方程式為：
y=ax+b，再將給定通過的點代入，解出a、b。

例如：求通過(4，5)、(2，-1)的直線方程式。
解法：假設方程式為y=ax+b
將(4，5)、(2，-1)帶入上述之假設方程式：
5=4a+b
-1=2a+b
解出：a=3、b=-7
所以直線方程式為：y=3x-7

以上之解法之最大問題是：為何方程式可以假設為y=ax+b，課本在解釋這部份時，花了一段篇幅
來解釋，但是學生基本上要理解會有點吃力。(因為是代數的化簡，最後變成是學生把方程式背下來，至於原因，反正考試不會考，就不需要管他，但是這真的是我們應該要給學生的學習態度嗎?)

看了CA的講授方式，透過學生的觀察方式來找答案，以激發學生的思考找答案，以下為流程：

利用存錢概念：
一開始有500元，每天存100元，則：
一開始：總金額=500+100*0
第一天：總金額=500+100*1
第二天：總金額=500+100*2
第三天：總金額=500+100*3
第四天：總金額=500+100*4
......
第x天：總金額=500+100*x


給定直線方程式：y=2x+1，及其8組解
y 1  3  5  7  9  11  13  15
x 0  1  2  3  4    5    6   7

這會發現：當x值增加1時，y值會增加2

結合存錢的例子：(y視為總金額、x視為天數)
x=0→y=1=1+2*0
x=1→y=3=1+2*1
x=2→y=5=1+2*2
x=3→y=7=1+2*3
x=4→y=9=1+2*4
......
x=x→y=5=1+2*x
→這不就是我們要的直線方程式嗎？

在上述之關鍵部分就是：
(A) x=0時，y的值
(B) 當x值增加1時，y值增加的值(這部分就是高   
      中提到的斜率)

當給定7組解時：
y 2  5  8  11  14  17  20
x 1  2  3   4    5    6    7

當x值增加1時，y值會增加3

所以當x=0時，y=2-3=-1
所以直線方程式就是：y=-1+3x
其中-1是x=0時，y的值
        3是x值增加1時，y值增加的值

例：求通過(3,2)、(6,-10)的方程式。
解：
x：3→6 ，增加了3
y：2→-10，增加了-12
換句話說：x值增加1、y值增加了-4
當x=0時，y=2+(-4)*(-3)=14
所以直線方程式：y=14+(-4)*x

我們來討論另兩類直線方程式(水平線及鉛垂線)

水平線部分：
y  2  2  2  2  2  2  2  2
x  0  1  2  3  4  5  6  7
以上會發現：
x值增加了1，y值增加了0
根據我們前半段的討論：
直線方程式為：y=2+0*x=2

鉛垂線部分：
y  0  1  2  3  4  5  6  7
x  2  2  2  2  2  2  2  2
以上會發現：
x值一直維持不變，故無法利用前半段的討論方式。