一元二次方程式解法的進階版~~除法與乘法的討論

如何解方程式：2X^2-8X-5=0
一般常規作法------(÷2)
X^2-4X-5/2=0
                  □       +▲
          ×) □       +▲
             ▲□    ▲^2
      □^2 ▲□            
      X^2-4X

一元二次方程式的解法原理~~~

       當拿一條固定長度的繩子(不妨假設繩長為20公分)來圍出一個長方形時，此時來探討看看長方形面積是否改變時，學生的直覺反應都是說不改變，於是讓學生親自動筆寫出5組長寬數據，並計算其面積為何?

畢氏定理P1(角度與長度關係)

我們拿起圓規，試著來畫圓，當想要畫更大的圓時，會抓住圓規的兩邊拉大，此時畫出來的圓就
會變大，我們來思考一下：當兩邊拉大時，其實是在改變兩隻手指頭之間的距離，利用拉大距離來改變兩邊的夾角。所以，角度的大小是由距離來決定。

根式的乘除化簡

我們都知道：√a×√a=a
此時來探討√18=?

         √18  =√3×√6
   平方 ↓         ↑開根號
           18 =   3×6(=√3×√3×√6×√6=√3×√6×√3×√6
                             =(√3×√6)×(√3×√6)

則可以得知：√18  =√3×√6
                                =√3×√3×√2
                                =  3×√2
                                =  3√2
                               (不寫成√23，易看成根號23)
此時會發現：如果把根號去除時，
                        18=3×3×2→質因數分解

多項式的除法

我們知道：
☆(2x+5)(3x-1)=6x^2+13x-5
  (A)一次多項式×一次多項式=二次多項式
  (B)每個多項式的最高次項相乘是相等的
      (2x×3x=6x^2)
                    
☆(3x^2+x)(4x^3-5x+1)=12x^5+4x^4-15x^3-2x^2+x
   (A)二次多項式×三次多項式=五次多項式
   (B)每個多項式的最高次項相乘是相等的
        (3x^2×4x^3=12x^5)
∴A次多項式×B次多項式=(A+B)次多項式
(nx^A+...)×(mx^B+...)=mnx^(A+B)+...
(最高次的次數及係數是由兩多項式的最高次數及係數得來的)

多項式的意義

何謂多項式?
多：指的是不只一種，這裡的多不是指數量的
        多，而是種類的多。
式：指的是列式，其中列式的運算符號指有加號
        ，為何沒有減號或乘號呢？這與係數的觀念
         有關。
項：指的是項目，也就是生活上物品的種類。
所以：
多項式就是不只一種項目加總的算式

不等式的意義---

在講不等式之前，先複習之前所講的等式，何謂等式？
等式：含有"="之關係符號的算式
(關係符號有哪些：=、>、<等等，+、-、×、÷是運算符號窩)
所以，何謂是不等式呢？
不等式：含有">"、"<"等關係符號的算式。

函數的意義~~~

之前花了大把時間在課堂上解釋函數的流程，結果學生還是把函數與方程式搞混，只好再來打一篇資料說明白講清楚。
函數主要是拿來分析有效數據的變化，並能預測未來的變化。首先要先收集有效數據，所謂的有效數據指得是：
變數1(稱為自變數)------>變數2(稱為應變數)
            A1數值          ------>        B1數值
            A2數值          ------>        B2數值
            A3數值          ------>        B3數值
            A4數值          ------>        B4數值
                                   ......
其中每個變數1只能對應到1個變數2

函數與不等式的關係

以前在教授函數時，從來沒想過函數與不等式存在哪種關係，在去年看到秉鈞同學在教函數時，過渡到不等式的過程，才恍然大悟原來還能這樣講不等式(更有溫度的學習不等式)，於是今年就來嘗試這種講述方式。
例：若有兩個函數f(x)=3x-5與g(x)=-2x+10

常見的函數~~

雖然高中的數學以函數概念為主軸，包含了指數函數、對數函數、三角函數、多項式函數等等，但是最早遇到的函數卻是在國中階段，而且是非常重要的函數，那就是線型函數(國七下)與二次函數(國九下)。
所謂的線型函數與二次函數，其實都是屬於多項式函數，何謂多項式函數：
f(x)=A*x^n+B*x^(n-1)+...+S*x+R，其中A≠0、n為正整數或0，此函數稱為n次函數。
根據上述之定義：
所謂的線型函數，就是圖形呈現為直線的多項式函數。

函數概念之二---

(2)分析數據變化---利用圖形
當收集到有效數據後，接著就要分析這些數據的
變化，所以就要利用圖形，如何將數據轉化成圖
形呢？就要利用直角坐標平面了，所有就要將數據轉化成X、Y座標。
因為有效數據為：一個X值決定了唯一的Y值，於是，轉化成坐標方式為---
X值→X座標    Y值→Y座標

函數的概念之一~~~

何謂函數，這是我今年重新教到這單元時，內心出現的一個疑問?以往在教這部份時，一開始都是在強調對應的關係(一個問題只能得到一個答案)，可是後面在講線型函數時，總覺得很心虛，因為前面在講對應關係，怎麼看都與線型函數(直線方程式)無關。
今年重新省思這部分，再加上看了CA教授的教學過程及2017年暑假的夢N在宜蘭中CA的函數說明課程，讓我恍然大悟，原來函數在課本寫的方式嚴重誤導了我的想法，於是今年重新定義所謂的函數。

求比問題

我們常看到：
3X=5Y，則X：Y=?
通常學生的答案是3：5
(學生最大的迷思及錯誤解法)
為了避免以上之結果，可以從基準量的概念出發：
先把某一項目當成基準量，將其他的項目轉換成基準量的倍數
舉例來說：
(A)若3X=5Y，把Y當成基準量，則X=5/3 Y
∴X：Y=5/3 Y：Y=5/3：1=5：3

比值與正比

我們都知道：比值一樣，則比會一樣；反之亦同。

根據上表：可以算出

？=4÷10=0.4→4成

10÷？=0.4→？=25

？÷80=0.4→？=32

其中4成是比值，4：10=10：25=32：80是比

此時會發現：

安打數如果乘以固定值，打數會跟著乘以該固定值(因為要維持打擊率為4成)

∴安打數與打數成正比

∴安打數除以打數為固定值(此為打擊率)

→安打數=打數×固定值(打擊率)

比例式的關係整理

A、如果甲：乙=1：3，則：

    1  ：  3

=  2  ：  6    (1×2    3×2)

=  3  ：  9    (1×3    3×3)

=  4  ：12    (1×4    3×4)

=......

= m  ：3m    (1×m    3×m)

由以上的式子可以得知：

(1)若甲=1，則乙=3

(2)若甲=2，則乙=6

(3)若甲=3，則乙=9

(4)若甲=4，則乙=12

......

(請注意---甲：乙=1：3，不代表甲=1、乙=3)

若甲=m，則乙=3m(此式可以視為比例式的假設)

→若甲：乙=a：b，則可以假設：

     甲=am、乙=bm      

舉例來說：

若甲：乙=2：3，且2甲+5乙=38，則甲=?

解：假設甲=2m，乙=3m，m ≠0

        4m+15m=38

        m=2

        甲=2m=4

生活上的比與比值

我們常在便利商店買牛奶，到底小包裝的牛奶跟大包裝的牛奶有何區別？這又跟數學學的比值有何關係?我們直接舉例來說明：
(1)我們拿最常見的瑞穗鮮奶的標價來討論：
    容量(ml)     售價(元)
  A     290              35
  B     930              86
  C   1858             166
這三種容量哪一種比較便宜？
學生的計算過程：
  290÷  35=8.29
  930÷  86=10.81
1858÷166=11.19
對於8.29這數值來看，我們可以解讀成1元可以買到8.29ml的牛奶
用比的概念來看：
  290：35轉換成8.29：1    
(利用正比：將左式除以35得到右式)
我們可以說290：35=8.29：1，其中的等號是代表了價值的相等。
其他兩條式子也是相同的模式，在此不再闡釋。

比與比例的意義

在日常生活上，會用到比的模式大致有兩種：
A、比賽：
這類出現的數字比如是---
35：45、72：36、7：0、0：2......等等，這些數字的功用都是在比大小(勝負)，其中0這個數字是可以出現的，因為得分可以是0分，而且"："這個符號的用意是拿來區隔數字(或分數)的。
B、比例尺、調味、......：
這類的用意是：我們要比"●●●"時，就列出其相關項目類別來做比較。
拿調味來舉例：
如果要比較糖水，那麼我們就會拿其中的糖量與水量來相比：
以下是常看到的比較類型：
比較類型           項目1   項目2     項目3
   糖水                  糖         水
   面積(矩形)       長         寬
   速率                距離     時間
   距離                速率     時間
   照片形狀          長         寬
   長方體體積      長         寬           高

以上的類型，我們會發現：如果用不到的項目是不會出現在比較的項目裡，
例如：比較糖水時，只會關照糖跟水，不會去關照鹽巴量、醬油量等等，因為用量都是0，所以0是不會出現在這類項目裡。

直線方程式變化率(斜率)的解讀

所謂直線方程式中的變化率指的是：
變化率=y值的增加量÷x值的增加量=△y÷△x
(也就是高中提到的斜率，以m表之)

1、根據上圖中，我們得知：
      (一)
           直線F的變化率=2(深藍色)
           直線I的變化率=3(綠色)
           直線N的變化率=0.5(橙色)
           直線M的變化率=6(粉紅色)

直線方程式的求法

直線方程式的求法在以往都是先假設方程式為：
y=ax+b，再將給定通過的點代入，解出a、b。

例如：求通過(4，5)、(2，-1)的直線方程式。
解法：假設方程式為y=ax+b
將(4，5)、(2，-1)帶入上述之假設方程式：
5=4a+b
-1=2a+b
解出：a=3、b=-7
所以直線方程式為：y=3x-7

以上之解法之最大問題是：為何方程式可以假設為y=ax+b，課本在解釋這部份時，花了一段篇幅
來解釋，但是學生基本上要理解會有點吃力。(因為是代數的化簡，最後變成是學生把方程式背下來，至於原因，反正考試不會考，就不需要管他，但是這真的是我們應該要給學生的學習態度嗎?)

看了CA的講授方式，透過學生的觀察方式來找答案，以激發學生的思考找答案，以下為流程：

利用存錢概念：
一開始有500元，每天存100元，則：
一開始：總金額=500+100*0
第一天：總金額=500+100*1
第二天：總金額=500+100*2
第三天：總金額=500+100*3
第四天：總金額=500+100*4
......
第x天：總金額=500+100*x

二元一次方程式與直角坐標平面圖形的對照

          代數          ←→直角坐標平面(解析幾何)
A、二元一次方程式  ←→  直線方程式
                y=b+ax     ←→   斜直線  (△y÷△x=a)
                y=m          ←→  水平線  (△y÷△x=0)
                x=n           ←→  鉛垂線  (△y÷△x不存在)
B、方程式的解(x=a、y=b)  ←→  點座標(a,b)
         二元一次方程式的解為x=a、y=b
                                    ↑
                                    ↓
           直線方程式通過點座標(a,b)
C、聯立方程組的解的意義：
        唯一解      ←→ 只有一交點
        無限多解  ←→ 無限多交點 ←→ 兩直線重合
        無解          ←→  無交點         ←→ 兩直線平行
註：
如果要求圖形交點→求方程式之聯立解

直線方程式圖形的幾何與代數意義

(一)二元一次方程式的解與直線上的點的對照：
任舉一條二元一次方程式：y=2x+1
其中可以找出滿足上式的很多解，例如：
x=0、y=1,x=1、y=3,x=-1、y=-1.......
以上之資料轉換成直角坐標平面時所代表的意義為：
y=2x+1為一直線方程式之圖形，且將方程式的解轉換為座標
也就是：
x=0、y=1→(0,1)
x=1、y=3→(1,3)
x=-1、y=-1→(-1,-1)......
也就是說：
二元一次方程式→直線方程式
其解為x=a、y=b→座標(a,b)
舉例來說：
以下哪些是方程式y=2x+1的解?
(A)x=1、y=3  (B)x=-1、y=-1  (C)x=0、y=-1

以上轉換成座標平面資料：
以下哪些點落在直線y=2x+1上?
(A)(1,3) (B)(-1,-1) (C)(0,-1)

綜合來說：
如果要檢驗某一直線方程式是否通過點(a,b)，或者點(a,b)是否落在指定之直線方程式上，就是把
(a,b)轉換成x=a、y=b，將上述的轉換的解代入指定的方程式中，如果滿足就是代表通過點(a,b)。

二元一次方程式的解在直角坐標平面的轉換及呈現圖形

每一個二元一次方程式都有無限多組解，如果我們想要把全部的解寫出來，是否有辦法呢？
舉例來說：
Y=2X+1，先陳列出一些解：(紅色部分為優先找的數字)
(A)
Y   3  9  5  1......
X   1  4  2  0......
→方程式的陳列方式 
    (給一個X值(Y值)，再算出Y值(X值))
(B)
Y  3  5  7  9  11......                         
X  1  2  3  4   5......                          
→函數的陳列方式  
    (先將X值一口氣陳列，再計算出Y值) 
會發現：當X值每增加1時，Y值會跟著增加2

如果將X=1與X=2再細分下去：

Y  3  3.2  3.4  3.6  3.8  4.0......5                         
X  1  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5......2 
會發現：當X值每增加0.1時，Y值會跟著增加0.2

如果將X=1與X=1.1再細分下去：

Y  3  3.02  3.04  3.06  3.08  4.00......3.2                        X  1  1.01  1.02  1.03  1.04  1.05......1.1 
會發現：當X值每增加0.01時，Y值會跟著增加0.02

根據B的陳列方式會發現：
一直細分下去，無法陳列出所有結果，但是卻有一個特殊規律：
X值的增加量，Y值的增加量會是X值的增加量的兩倍

直角坐標軍艦棋

活動名稱：直角坐標軍艦棋

適用單元：直角坐標平面

活動器材：學習單
關鍵字：國一、軍艦棋、直角坐標
與教學內容關聯性：★★★★★ 
趣味性：★★★ ★
操作難度：★★ 
遊戲可套用性：★★
推薦度：★★★★ 

構想來源：數學奠基模組(第二期)

使用時間：45分鐘

教學流程：

每兩人一組互相對抗，進行三輪比賽。

第一輪時，在格子內先畫上2艘航空母艦(5格)、1艘巡洋艦(4格)、1艘驅逐艦(3格)，其中船艦只能橫放或直放、不能斜放，猜拳決定先後順序，喊出格子的位置(先喊橫向的英文字母、再喊直向的數字，例如：B3)，對方在聽到位置後，需核對自己的船艦布局，如果有擊中，喊

“擊中”，如果沒擊中，則喊”沒擊中”，如果有擊中，可以在進行下一次攻擊，如果沒擊中，則換對方攻擊，一直進行下去，直到一方船艦全部被擊沉為止。

第二輪時，遊戲規則相同，但是船艦改畫在線與線的交叉點上。

第三輪時，遊戲規則與第二輪相同，但需要將英文字母改成數字，而且要加入正負數。

在對抗時，可以請學生除了畫記攻擊位置外，也可以記錄攻擊位置的座標。這樣會更熟悉座標的寫法。

遊戲規則影片介紹：

https://www.youtube.com/watch?v=aVjkPCWVcfQ&t=15s

實施心得：

學生在一開始使用時，其實玩得蠻HIGH的，因為數學課難得有活動進行。連學習低成就的同學都可以在老師的協助下，慢慢熟練遊戲進行方式。

前兩輪活動的進行學生表現會比較上手、不吃力，但是到了第三輪明顯有點亂掉，因為都是用數字表達，而且還有負數的干擾，對於學習低成就的學生就明顯出現障礙了，老師在旁邊慢慢協助進行，就漸漸有改善，也慢慢知道座標的紀錄法。

過程中，發現對於學生比較吃力的除了負數的干擾外，軸上的點對學生來說也是一大挑戰，因為前兩輪都是橫軸與縱軸的交叉點，學生也很少會把船艦擺放在

最下方或最左方的邊界上，所以問題還沒很凸顯出來，但是第三輪，0的干擾明顯加重，同學雖然為敵方，但是還是會適時地幫忙確認位置。透過遊戲的方式，讓學生能夠在直角坐標平面上標記位置及根據座標找出確定位置，等後面課程再來介紹直角坐標平面的位置標記及位置讀取，應該會比較輕鬆。

聯立方程組解的判斷--修正版

考慮聯立方程組解的模式，可分為下列幾種：
A、 X+  Y=  3  ←×2
      2X+3Y=12
→    2X+2Y=6
－)  2X+3Y=12
               -Y=-6

此時會發現未知數X抵消為0了，但未知數Y未抵消為0，常數亦未抵消為0，所以方程組有一組解

B、 X+  Y=3  ←×2
      2X+3Y=6
→    2X+2Y=6
－)  2X+3Y=6
               -Y=0

此時會發現未知數X抵消了，但未知數Y未抵消，常數抵消為0，但方程組仍是為一組解

C、 X+  Y=3  ←×2
      2X+2Y=6
→    2X+2Y=6
－)  2X+2Y=6
                 0=0

此時會發現未知數X抵消為0了，未知數Y也抵消為0了，常數亦抵消為0，直接觀察之，發現上下兩條方程式是同一條，所以會出現無限多組解之狀況。

D、 X+  Y=3  ←×2
      2X+2Y=12
→    2X+2Y=6
－)  2X+2Y=12
                 0=-6

此時會發現未知數X抵消為0了，未知數Y也抵消為0了，但常數未抵消為0，這為不合理之狀況，
所以為無解

將上述之狀況整理如下：
(I)將一未知數(一般為X)利用加減消去法消去變
    為0 時，此時另一個未知數(一般為Y)如果沒
    消失(變為0)，則不管常數是否消失為0，則此
    種狀況之方程組必有一組解。
(II)將一未知數(一般為X)利用加減消去法消去 
      變為0時，此時另一個未知數(一般為Y)亦消
      失變為0時，此時就要考慮常數之狀況：
   (甲)常數如果也消失變為0，則方程組為無限
         多組解。
   (乙)常數如果沒有消失變為0，則方程組為無
          解。
修正的用意：不想讓學生一直在背係數的比
                         值關係，讓學生能有更直觀的
                        感覺，而不是在背公式。
                        

聯立方程組解的判斷~~~

手機的定位系統：
根據手機(B)發出訊號到基地台(A)，告訴基地台(A)說：持手機(B)的位置落在訊號傳送的直線AB上，但是會發現無法確定手機(B)的正確位置，所以必須由手機(B)再發出訊號給基地台(C)，此時手機(B)的位置落在訊號傳送的直線BC上，根據直線直線AB與直線BC的交點就可以確定手機(B)的位置。(如下圖所示)。但是如果手機(B)的位置如果剛好落在基地台A跟C的連線上，此時仍然是無法定位的。所以必須要有兩個不同角度的訊號才能定位手機的位置。

每一條方程式都可以比喻成上述之訊號路線，如果要找出正確解，必須要有兩條方程式，也就是需要兩條不同條件的方程式才能讓方程式有一解，可是如果兩條方程式為同一條件的情況下，是無法找出解的。

A、何謂同一條件：

給定一方程式：X+Y=3

相同條件之方程式為：(讓學生自己舉例)

2X+2Y=6、3X+3Y=9、-X-Y=-3....或者是X=3-Y

前者為將原方程式任意乘上一個數，

後者為移項的效果。

所以這部分的檢驗方式就是為：

AX+BY=C、DX+EY=F中

觀察A/D、B/E以及C/F的值是否一樣，如果都一樣，表示為同一方程式，其解就是無限多解。

B、何謂不同條件：

給定一方程式：X+Y=3

不同條件之方程式為：(讓學生自己舉例)

2X+Y=5、3X-Y=4.......

結論：只要不是將X+Y=3任意乘上一個數得到的方程式都可以。

因為不是將原方程式任意乘上一個數得到的新方程式，所以會發現：

AX+BY=C、DX+EY=F中

A/D與B/E的值大部分都會不一樣→即為唯一解。

此時詢問那如果是以下這狀況呢?

X+Y=3、2X+2Y=7

學生回答說：根本不可能出現這答案，還有一位學生下課跑來跟我說，如果是基地台的訊號概念，這是不是平行線的狀況???(心裡有些安慰，因為這是他自己想到的)

我解釋為：這狀況很像是在同一時間，手機(B)在兩個不同位置同時發出訊號給基地台(A)。

所以：AX+BY=C、DX+EY=F中

A/D與B/E的值相同，但跟C/F的值不同是不可能的狀況，就是所謂的無解。

加減消去法的原理2~~

使用加減消去法的處理流程：

A、決定要消去之未知數。

B、讓欲消去之未知數的係數(數字)利用"乘  

       法"相同。

C、利用兩方程式"相加"(係數同號：(+、+)、 

       (-、-))或"相減"(係數異號：(+、－))消去指定

       之未知數。

D、聯立方程組的未知數需要"上下對齊"

       所謂的對齊是指：

       Ax+By=C

       Dx+Ey=F

加減消去法的原理

A、

(圖解)    

如圖一：(以■代替大紙數字、●代替小紙數字)

       ■●=28.........(1)

    ■■●=65.........(2)

將(2)中的左式拿掉一組■●、右式拿掉28(這是由1式中得到的訊息)，就轉變成：

   ■■●-■●=65-28

→■=37，再代入(1)中：

→●=-9 

(算式)

以X呈現大紙數字、Y代替小紙數字：

  X+Y=28........(1)

2X+Y=65........(2)

(2)-(1)：

    (2X+Y)-(X+Y)=65-28

→X=37

→37+Y=37

    Y=-9

 (圖一)

B、

(圖解)    

如圖二：(以■代替大紙數字、●代替小紙數字)

          ■●   =7.........(1)

    ■■■●●=18.........(2)

將(2)中的左式拿掉兩組■●(因為有兩組的■●)、右式拿掉兩組7(這是由1式中得到的訊息)，

就轉變成：

   ■■●-■●-■●=18-7-7

→■=4，再代入(1)中：

→●=3 

(算式)

以X呈現大紙數字、Y代替小紙數字：

  X+Y=7........(1)

3X+2Y=18........(2)

(2)-(1)：

    (3X+2Y)-(X+Y)-(X+Y)=18-7-7

→(3X+2Y)-2(X+Y)=18-2×7

→X=4

→4+Y=7

    Y=3

其中，拿掉兩組是因為一次拿掉一組是去除1個Y，所以兩個Y就必須拿掉兩次。

整理算式流程：

      X+  Y=7   ←×2 (觀看欲消去Y的係數數字決定)

    3X+2Y=18 

→   3X+2Y=18      

    -)2X+2Y=14

→(3X+2Y)-(2X+2Y)=18-14

     X=4

     4+Y=7，Y=3

 (圖二)